数学思维之道-辩证法和辩证思维(续四)

这篇用一道初中几何题简单讲下如何处理几何结构中的位置关系。

先讲下辩证法中的矛盾分析法。

辩证法的矛盾就是差异、不和谐、相互制约、相互对立。

源自矛盾观的矛盾分析法指导启发我们：要关注事物内外部的矛盾，识别出(找出)矛盾、要抓主要矛盾、矛盾并不一定就是不和谐，也有和谐的相互制约的，且这种和谐的矛盾是维持事物存在和正向发展的必要条件。但当不和谐的矛盾成为我们解决问题的障碍和症结时，这也是现实与理想的(矛盾)差异，我们就要合情合理地构想和谐的美好的设想，以这个设想的目标为努力方向，转化现实中存在的矛盾，消除矛盾，变不和谐为和谐。

数学中所谓的分析法和综合法，这里就不介绍了，其实个人觉得在数学中使用'矛盾分析法'这个名词更适用更贴切更名正言顺，例如分析结论与题设之间的矛盾。矛盾分析法的作用和适用范围可涵盖数学中所谓的分析法。

几何中的位置关系

结构决定功能，几何题难，很大一部分是源于图形中几何对象(点、线、面、角、三角形、多边形、圆、...)的空间结构(结构布局），其中很多是位置关系不协调造成的。

就像家里的物品东倒西歪或随意摆放，看上去乱糟糟，或本该在一起的东西却分隔较远(距离远，关系不密切不顺手),或本该在这个位置摆放的却存在缺失。这都是结构层面位置关系不和谐的表现。这些结构布局和位置关系的不和谐(别扭&扭曲、隔阂疏远、不完整&缺失&隐形），导致我们不方便利用它们，不容易看出这些事物(对象)之间的内在联系和规律，导致其他方面的关系也不协调，不容易建立其他关系。

下面以一道几何题为例来讲解对几何对象位置关系的处理。

等腰三角形ABC，AB=AC。角ADB为60度，角ECB为30度。

观察这个几何图形，结合题设、结论，应该能感知到BE这个几何对象和AB、AC在位置关系上的不协调。这个几何图形结构别扭，已知条件和我们学过的数学知识都难以直接利用上。这种不协调是命题人故意制造出来，考察我们识别矛盾，解决矛盾的能力。

对不和谐的位置关系和图形结构如何改造？道在日用，和日常生活中的道理一样，就是合情合理地移动调整，移形换位，移花接木，就是辩证法的运动观运动思想，要动起来，要变，要象孙悟空那样随机应变地变化改变。在几何中，通常就是合情合理地运用各种几何变换、各种模型构造、完形补美。

几何变换，例如平移变换移动几何对象的位置，这样就改变了位置关系，也组合产生了新的几何模型和各种新的关系，达到了调整几何结构的目的。

模型构造，例如构造全等或相似模型，构造其他几何模型，例如构造等腰三角形或作平行线。

完形补美，追求完美，完形补美的心理意识，看到有个东西缺失，通常会想法去补完整。

这道题目中有角度，自然能想到要计算角度关系。

回到调整位置关系上来，调整位置关系也有多种方法，例如过E点作AC或AB的平行线，调整和拉近BE与AC、AB的位置关系。

数学中也有实验探索，经过探索尝试，我们可以构造正三角形BEF，如下图。通过正三角形的三向同性，将BE等效移动到BF(BF是BE的替身替换，它们存在长度相等关系)，这是直接的等价替换转移，有的转移是间接的转移，转移存在关系的其它对象。BE转移变化到BF位置后，从图形直观上看，感觉BF和整个图形特别是与AB、AC的位置关系变和谐了。直接就想到构造正三角形也是可能的。

用同一法易证BEC外接圆圆心和F点是同一点(重合)。当然在草稿纸上构造正三角形得到这种认识后(F点是圆心)，在正式的书面答题纸上，你可以这样描述证明过程：取三角形BEC外接圆圆心F，由圆心角等于圆周角的2倍，可知角BFE为60度，故BFE为正三角形。这样就不涉及同一法，直接证ABC全等于BFC。

对每道具体的几何题，这些几何变换和几何构造是如何想到的，这个就靠数学思维方法论给力，这篇文章也是阐述它的一部分。

为何能想到构造正三角形？

这就涉及到本人简书文章中的功能思想，正三角形具有三面玲珑&三向同性的功能，类似水管中的三通，具有三向沟通功能。

学习数学过程中，平时要注意总结积累各种数学对象包括数学模型的各种功能，例如四点共圆具有角度转移的功能，平行线也有”角度转移器”功能，柯西不等式有去根号的功能(结构决定功能，这个不等式中有平方结构)。这样到需要此功能时才容易想起这些数学对象。磨刀不误砍柴功，平时要烧香，临时抱佛脚来得没那么快。