SAUSG复模态求解器
新的隔震标准GB/T 51408-2021已经颁布，隔标中采用了一些新的设计理念和方法，特别是结构设计方面，提出了利用动力分析进行结构设计和使用复振型进行结构设计的方法。SAUSG包含中大震下使用时程结果进行设计的功能，为了工程师更方便的使用SAUSG进行隔震结构设计，SAUSG在新的版本中增加了复模态的分析设计方法，本人在复模态方法中承担了复模态分析求解器部分的研发工作。现介绍SAUSG的复模态求解器功能以及求解正确性验证。
在典型的振动方程中
（1）
传统的比例阻尼因为刚度矩阵为对称正定矩阵，所得出的特征值均为实根。
对于非经典阻尼，复特征根问题是二次特征值问题，一般对上述方程进行变换，将方程进行转化为两倍自由度的一阶微分方程。
（2）
式中
矩阵A和B为对称非正定矩阵，通常（2）对应的特征值
成共轭出现，特征向量 具有形式
，其中
为第i阶变形模式。对于过阻尼的情况，有时也会出现部分实根。这类特征值求解问题为广义实对称矩阵的特征值求解问题，即求解
实对称矩阵的特征值问题。
对于大型结构体系，两倍的自由度数较大，使用通用的线性代数库LAPACK进行特征根求解器不适合，一般使用迭代方法求解若干特征根的计算方法，使用Krylov子空间进行降维。对于常见的结构问题结构刚度、质量和阻尼矩阵为大型对称稀疏矩阵。可以使用求解大型稀疏矩阵特征值的求解方法进行求解。常见的方法包括子空间迭代法、广义的Lanczos方法以及Rayleigh-Ritz方法。
SSG复模态求解器使用了广义的Lanczos，在求解过程中使用了Intel高效的数学库MKL，MKL库在求解和矩阵计算中针对CPU指令集和多线程对求解和矩阵计算进行了优化，充分利用了CPU的计算能力，能对大型结构进行复特征根求解。SSG求解器与权威软件的求解结果进行了验证，保证了结果的准确性。
下面以几个算例进行验证，计算结果中位移分量在前，速度分量在后。
1
验证例题1
首先是Chopra结构动力学的一个算例, 使用求解器对Chopra的结构动力学中的例题14.1进行求解。
书中的结果
SSG求解器得到的特征根和特征向量为
phi =
lam =
与书中的计算结果符合。
验证例题2
对于一个葫芦串模型，得到的C、M、K矩阵为。
M = [
]
K = [
]
C=[
]
使用Octave进行结果比较。Octave的计算结果（仅给出一个共轭结果）是
phi =
lam =
SSG求解器得到的特征值和特征向量为（仅给出一个共轭结果）
任意一组特征向量都特征方程
。计算结果一致。
2
计算效率优化验证
除了正确性验证外，还需要对大模型进行求解的效率验证，以满足计算实际工程的需求。对于一个实际隔震模型，我们验证一下求解效率，结构自由度 131568。网格划分0.8x0.6m。使用SSG求解器求解10个特征值，计算误差设为1E-7，i7计算机，求解计算时间约40秒，能够满足计算精度要求。
3
结论
针对SAUSG新规范复模态分析功能，开发了复模态求解器，使用Octava（该软件与权威软件Matlab提供了很多类似的功能）对多个不同规模的模型进行了验证，计算结果是一致的。目前求解器使用了MKL的pardiso求解器，后续将针对超大模型增加Mumps求解以及Ritz向量功能，进一步优化求解效率。
SAUSG-PI在2022版本中增加了复模态分析功能、为设计工程师使用新规范进行直接分析设计、非比例阻尼复模态分析设计提供了有力的工具。
SAUSG-专注非线性仿真，守护结构安全。