2021山东淄博第17、23题

“初中数学研学堂”

01

山东淄博第17题

17． 两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是　      　．

方法一：费马点最值

将△ABP绕点A顺时针旋转60°至△AFE，将PA+PB+PC转化为PE+FE+PC，由两点之间线段最短，连接FC则FC即为所求最小值，在△AFC中易求AC、AF和∠FAC解形可求FC.

方法二：胡不归最值

由对称性知：PA=PC,所以PA+PB+PC=PB+2PA=2(PB/2+PA),在BC下方作射线BM，使∠PBM=30°，过点P、A作MB的垂线，已知PM=PB/2,所以PB/2+PA=PM+PA≥AN，故所求最值等于2AN.

02

山东淄博第23题

23． 已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．

（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；

（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；

（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．

第（1）问

正方形中经典十字架模型

第（2）问

垂直平分线和正方形的对称性，连接QA、QC，则有QA=QF，对称性有QA=QC，则QF=QC，所以∠QFC=∠QCF，而∠QCF=∠BAQ，于是∠QFC=∠BAQ，所以∠BAQ+∠BFQ=180°，所以∠AQF=90°，所以∠AFQ=45°.

构K型，证全等得等腰直角三角形，如下图，易证△AMQ≌△QNF，可证∠AQF=90°.

第（3）问

全等得BF=GH=x

8字形相似求AP

斜A形相似求AE

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题