初中竞赛题选讲 第三百二十一题解答

已知有若干个硬币堆，每个堆中有至少一个硬币.对他 们进行如下操作: 任选两个硬币个数之和为偶数的硬币堆, 将它们合成一堆，再均分为个数相同的两堆. 若按某种方案将若干个硬币分成若干堆之后，可以经过若 干次操作(包括 0 次),使得每堆硬币的个数相同，就称这个方 案是”可均的”.
求所有正整数 使得对任意正整数 将 个硬币分成 堆的任意方案均为”可均的”.

解: 答案为的幂.
我们定义:若正整数满足条件,则称为均分者.
首先我们归纳证明: 所有的幂均为均分者.
(i)显然为均分者.
(ii)若为均分者,考虑是否为均分者
对任意正整数, 枚硬币被任意分为堆,那么由于硬币总数为偶数,一定可以将其两两分组,使得每组硬币堆的奇偶性相同.
我们对每组硬币都进行一次操作, 则每组之内的两堆硬币相等.此时我们从每组硬币中取出一堆,由归纳假设知, 这堆硬币可以均分,另外堆硬币也可以均分,于是这堆硬币可以均分.
由(i)(ii)知,所有的幂均为均分者.

下面我们证明,非2的幂均不为均分者. 设为奇数
取,这样我们有枚硬币,分为堆.
若其中堆各有枚硬币, 另外堆有枚硬币, 则与奇偶性不同,因此我们无法对任意两堆硬币个数不同的硬币堆进行操作, 故每次操作都不改变硬币堆的个数.
于是无法均分.
综上所述, 答案为的幂.