2021年一月杨浦区初中数学一模

2021年上海市杨浦区九年级中考一模数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年上海市杨浦区九年级中考一模数学试卷 一、选择题（共6小题）. 1．关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（　　） A．经过坐标原点 B．顶点是坐标原点 C．有最高点 D．对称轴是直线x＝1 2．在△ABC中，如果sinA＝，cotB＝，那么这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 5．下列命题中，正确的是（　　） A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝ 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（　　） A．S△AOB＝S△DOC B．＝ C．＝ D．＝ 二、填空题（共12小题）. 7．计算：3（+2）﹣2（﹣）＝　 　． 8．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是　 　． 9．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了　 　米． 10．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP的长是　 　厘米． 11．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于　 　． 12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是　 　． 13．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　 　米． 14．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC于点O，那么的值为　 　． 15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝　 　． 16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cotB＝，正方形DEFG的顶点G、F分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为　 　． 17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为　 　． 18．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为　 　． 三、解答题（共7题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）． （1）求这个函数的解析式及对称轴； （2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1　 　y2．（填“＜”或“＞”） 21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N． （1）求的值； （2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量． 22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）． （参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05） 23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F． （1）求证：＝； （2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项． 24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段AP的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标； （3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F． （1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值； （2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长． 参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（　　） A．经过坐标原点 B．顶点是坐标原点 C．有最高点 D．对称轴是直线x＝1 解：∵y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣， ∴顶点坐标是：（，﹣），对称轴是直线x＝， ∵a＝1＞0， ∴开口向上，有最小值， ∵当x＝0时，y＝x2﹣x＝0， ∴图象经过坐标原点， 故选：A． 2．在△ABC中，如果sinA＝，cotB＝，那么这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 解：∵sinA＝，cotB＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：D． 3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等． 所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°， 点B处小明看点A处小丽的仰角是35°． 故选：A． 4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解：当， 则DE∥BC，故选项A不符合题意； 当＝， 则DE∥BC，故选项B符合题意； 当＝， 则DE∥BC，故选项C不符合题意； 由于＝，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意． 故选：B． 5．下列命题中，正确的是（　　） A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝ 解：A、如果为单位向量，且与方向相同时，那么＝||，故本选项不符合题意． B、如果、都是单位向量且方向相同，那么＝，故本选项不符合题意． C、如果＝﹣，则向量与﹣的大小相等、方向相反，那么∥，故本选项符合题意． D、若||＝||，那么与的模相等，但是方向不一定相等，即＝不一定成立，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（　　） A．S△AOB＝S△DOC B．＝ C．＝ D．＝ 解：如图， ∵AD∥BC， ∴S△ABC＝S△DCB， 即S△AOB+S△OBC＝S△OBC+S△DOC， S△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确； ∵AD∥BC， ∴＝， ∵＝， ∴＝；所以B选项的结论正确； ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴＝（）2，所以C选项的结论错误； ∵AD∥BC， ∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离， ∴＝，所以D选项的结论正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：3（+2）﹣2（﹣）＝　+8　． 解：原式＝3+6﹣2+2）＝+8． 故答案是：+8． 8．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是　a＜1　． 解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上， 所以1﹣a＞0，即a＜1． 故答案为：a＜1． 9．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了　50　米． 解：设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为1：2.4， ∴他行走的水平宽度为2.4x米， 由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302， 解得，x＝50， 即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 10．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP的长是　（6﹣2）　厘米． 解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，AB＝4厘米， ∴BP＝AB＝（2﹣2）厘米， ∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝（6﹣2）厘米， 故答案为：（6﹣2）． 11．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于　3　． 解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）， ∴当y＝0时，x＝1或x＝3，当x＝0时，y＝3， ∴点A、B、C的坐标为分别为（1，0），（3，0），（0，3）， ∴AB＝2， ∴△ABC的面积是：＝3， 故答案为：3． 12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是　y＝x2﹣2　． 解：设所求的函数解析式为y＝x2+k， ∵点A（2，2）在抛物线上， ∴2＝22+k 解得：k＝﹣2， ∴平移后的抛物线的表达式是 y＝x2﹣2． 故答案为：y＝x2﹣2． 13．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　3　米． 解：由题意可得： y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+ ＝﹣（x﹣4）2+3， 故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m． 故答案为：3． 14．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC于点O，那么的值为　　． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵＝， ∴＝， ∴＝， ∵AE∥CD， ∴△AOE∽△COD， ∴＝＝． 故答案为． 15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝　　． 解：延长CG交AB于D，如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴DG＝CG＝1，AD＝BD， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3， ∴AB＝6，∠DCB＝∠B， 在Rt△ACB中，cosB＝＝＝， ∴cos∠GCB＝． 故答案为． 16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cotB＝，正方形DEFG的顶点G、F分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为　　． 解：∵∠C＝90°， ∴cotB＝＝， 设BC＝t，则AC＝2t， ∴AB＝＝t， ∴t＝10，解得t＝2， ∴BC＝2，AC＝4， 过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x， 易得四边形DGMH为矩形， ∴MH＝DG＝x， ∵CH×AB＝×AC×BC， ∴CH＝＝4， ∴CM＝CH﹣MH＝8﹣x， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴＝，即＝，解得x＝， 即正方形DEFG的边长为． 17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为　9　． 解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC． 在Rt△ABH中，tanB＝＝， ∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10， ∴k＝2， ∴AH＝6，BH＝8， ∵BC＝12， ∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4， ∴AC＝＝＝2， ∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠B， 在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝， ∵CD＝5， ∴DE＝3，CE＝4， ∴AE＝＝＝6， ∴AD＝AE+DE＝9． 故答案为：9． 18．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为　　． 解：如图，过点D作DE⊥AB1于E， ∵∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠CAB＝75°， ∵BB1∥AC， ∴∠CAB＝∠ABB1＝75°， ∵将△ABC绕点A旋转， ∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°， ∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°， ∴∠B1AB＝30°， 又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°， ∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E， ∴AB1＝DE+DE＝AB，DB1＝DE， ∴DB＝AB﹣AD＝DE﹣DE， ∴＝＝， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝4﹣2． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）． （1）求这个函数的解析式及对称轴； （2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1　＜　y2．（填“＜”或“＞”） 解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）． 根据题意，得， 解得． ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1； （2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0， ∴y1＜y2， 故答案为＜． 21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N． （1）求的值； （2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量． 【解答】（1）解：∵BM＝BC， ∴＝． ∵DE∥BC， ∴＝， ∴＝＝． 即：的值是； （2）解：∵＝，＝， ∴＝﹣＝﹣． ∵DE∥BC，＝， ∴＝＝． ∴DN＝BM． 由（1）知，＝，则NE＝2DN． ∴＝2＝2×＝﹣． 22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）． （参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05） 解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示： 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°， ∴tanC＝＝1， ∴CD＝AD， 在Rt△ABD中，∵∠B＝64°， ∴tan∠B＝＝2.05， ∴BD＝BD， ∵BC＝BD+CD＝50米， ∴AD+AD＝50米， 解得：AD≈33.6（米）． 答：河的宽度约为33.6米． 23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F． （1）求证：＝； （2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵AF∥CD， ∴∠ADC+∠DAF＝180°， ∴∠DAF＝∠BCD， ∴△DAF∽△BCD， ∴＝， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△CBE， ∴＝， ∴＝； （2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD， ∴∠ECD＝∠CBD， 而∠CDE＝∠BDC， ∴△DCE∽△DBC， ∴＝， ∴DC2＝DE?DB， ∵＝， ∴DE?DB＝DF?BE， ∴DC2＝DF?BE， 即线段CD是线段DF、BE的比例中项． 24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段AP的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标； （3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 解：（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0）， ∴（1﹣m）2＝4， 解得m＝3或﹣1（舍弃）， ∴A（3，4），P（1，0）， ∴PA＝＝2． （2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（0，0）， ∴m2＝4， 解得m＝2或﹣2（舍弃）， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4， 当x＝1时，n＝3， ∴P（1，3）， 如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）． ∵P（1，3）， ∴tan∠POF＝3， ∵tan∠OPQ＝3， ∴tan∠POF＝tan∠OPQ， ∴∠POF＝∠OPQ， ∴OF＝PF， ∴t2＝32+（t﹣1）2， ∴t＝5， ∴F（5，0）， ∴直线PF的解析式为y＝﹣x+， 由，解得（即点P）或， ∴Q（，）． （3）如图2中， 由题意，， 解得＜m＜2且m≠1． 25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F． （1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值； （2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长． 解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H． ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝4， ∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°， ∴DH＝BH＝DB＝， ∴AH＝AB﹣BH＝3， ∴tan∠DAB＝＝． （2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R． ∵AT⊥AC，BC⊥AC， ∴AT∥BC， ∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD， ∵∠ADC＝∠EDB， ∴∠DAK＝∠DKA， ∴DA＝DK， ∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°， ∴∠DAC＝∠R， ∴DA＝DR， ∵DC⊥AR， ∴AC＝CR＝4， ∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°， ∴∠AFE＝∠AKE， ∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEK（AAS）， ∴AF＝AK， ∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT， ∴△AKR≌△AFT（ASA）， ∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC， ∵∠ACD＝∠TAF， ∴△ACD∽△TAF， ∴＝＝， ∴AF＝2CD＝2x， ∵CF+AF＝4， ∴y+2x＝4， ∴y＝4﹣2x（0＜x≤2）． （3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H． ∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD， ∴△AGE∽△AHD， ∵△CDF与△AGE相似， ∴△CFD与△ADH相似， ∴＝或＝， ∴＝或＝， 整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x﹣16＝0， 解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃）， ∴CD＝4﹣4或8﹣4， 当点F在下方时，同法可得，CD＝， 综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．