你听过的歌里，竟然藏着奇妙的科学？
在如今这样一个时代，人们的生活已经逐渐与音乐密不可分。
走路时听歌、逛商场时听歌、喝咖啡时听歌、看书时听歌，几乎成为了一部分人生活的常态。
也许此时的你，就正在一边听着歌、一边阅读此篇文章。
但却很少有人会去思考这样一个问题，我听的这首歌，它为什么会这么好听？
是因为写歌的人太有才华吗？
其实，并不完全是这样。
你知道吗，几乎在你每天听过的每一首歌中，都不仅仅凝聚作曲家的心血，还蕴藏着无数中国古代人民的智慧。
为什么呢？因为不管是哪一首歌，都离不开音乐上的各种律制。
有了这些音乐律制作为基础，作曲家们才能在坚固的地基上造出宏伟的音乐大厦，你才能在如今听到各种惬意动听的歌曲。
早在古代的中国，智慧的中国人就已经能够独立发明出三分损益律（国外也称五度相生律）、十二平均律这些在世界各地影响最大、传播最广的音乐律制。
而在这些音乐律制的背后，无一不是藏着无比精妙的数学和物理学理论。
这篇文章，将回溯古代中国的音乐发展历史，带大家深入了解那些起源于中国的伟大音律体系和其背后的科学理论。
01 从《菊花台》等中国风歌曲背后的五声音阶说起
如今世界上最为通用的音乐律制，叫做十二平均律。我们所熟知的哆、啦、咪、发、嗦、啦、西这样的音阶，就是根据十二平均律而来。
但十二平均律的诞生和应用，还得追溯到我国的明朝和清朝末期。
那在古代的中国，在十二平均律还未被发明创造出来之前，人们日常生活中用什么乐律来创作音乐？
它就是三分损益律。
三分损益律可以算是我国历史最为悠久、在古代社会中影响最为广泛的一种音乐律制。
不同于由十二平均律产生的七声音阶，三分损益律这一乐律的音阶中，主要有五个音。
早在春秋时期的著作《管子·地员篇》中，就有过这样的记载：
“凡听徵，如负猪豕觉而骇；
凡听羽，如鸣马在野；
凡听宫，如牛鸣窌中；
凡听商，如离群羊；
凡听角，如雉登木以鸣，音疾以清。”
可见在2600多年前，古人就已经能将五种特殊的声音与牲畜的鸣叫声所相关联。
而这其中的五种声音——宫、商、角（jué） 、徵（zhǐ） 、羽，就是我国古代人民在音乐上所使用的“五声音阶”。
与如今十二平均律的音阶相对比，宫音对应我们日常所说的1（do）音，商相当于2（re）音、角相当于3（mi）音、徵相当于5（sol）音、羽相当于6（la）音。
这样一种五声音阶，对当今音乐文化的发展仍有不小的影响。
周杰伦在其很多流行音乐歌曲中，就使用了五声音阶进行作曲，比如《菊花台》、《青花瓷》、《兰亭序》、《红尘客栈》等这些中国风歌曲。
还有老版《笑傲江湖》的主题曲《沧海一声笑》、黄安演唱的那首“抽刀断水水更流，举杯消愁愁更愁”《新鸳鸯蝴蝶梦》，以及我国《茉莉花》、《敖包相会》这些著名的民间歌曲，均是采用五声音阶所创作。
有兴趣的读者如果去查阅以上这些歌曲的简谱，会发现它们的乐谱中一定不会出现4（fa）和7（xi）这两个音，而是全部由1、2、3、5、6这五个音构成。
而产生这样一种五声音阶的方法，就是我们接下来即将说到的“三分损益法”。
周杰伦《菊花台》部分简谱
02 五声音阶的诞生：三分损益法
形成三分损益律这一乐律的方法，叫做三分损益法。古人正是用这种方法，创造出了三分损益律中的五声音阶。
继上文所述，在《管子·地员篇》中提到五声音阶后，该篇也指出了如何通过一种具体的方法产生宫、商、角、徵、羽这五个音：
“凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。”
这是人们在中国音乐律制发展史中，能找到的对于“三分损益”这一概念最早的记载。
到了汉代，在司马迁的《史记·律书第三》中，则是用更为详细的数据指明了五音的生成方式：
“九九八十一，以为宫。
三分去一，五十四，以为徵。
三分益一，七十二，以为商。
三分去一，四十八，以为羽。
三分益一，六十四，以为角。”
这段话是什么意思呢？
意思是，我们首先将一个长度为81的律管（律管：古人用竹管或金属管制成的定音器具，也可用一根弦代替）振动所发出的的声音定为宫音。
三分去一，即是将81乘以2/3得到54，那么这样一个长度为54的律管，所发出的的声音就是徵音；
三分益一，则意为再将徵音律管的54乘上4/3得到72，这样一个长度为72的律管发出的声音为商音；
同理，再将宫音律管三分去一，即72乘上2/3等于48，为羽音律管的长度。
最后，将48再乘上4/3得64，是角音律管的长度。
至此，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角。
通过这样一种三分损一（乘上2/3）或三分益一（乘上4/3）的方法，人们就由最初的宫音生成了其余四个音，形成五声音阶。
那么此时肯定有读者会提出疑问，这样一种通过“三分损益”来制造音阶的方式，古人又是如何思考得出来的呢？
司马迁《史记·律书第三》中关于三分损益法的记载
03 建立在数学与物理学上的三分损益法
在探究三分损益法的科学本质之前，不妨先了解两个音乐知识上的小概念：基本音级和八度。
- 什么叫做基本音级？
很简单，在我们的日常生活中，相信人们都应该知道音乐歌曲中的哆、来、咪、发、唆、拉、西。
以上这七个为大多数人们所熟知的常用音，即：1（do）、2（re）、3（mi）、4（fa）、 5（sol）、6（la）、7（xi），就是七个基本音级。
更专业一点的话，可以写为C（do）、D（re）、E（mi）、F（fa）、 G（sol）、A（la）、B（xi），其中C、D、E、F、G、A、B称为它们的音名，do、re、mi、fa、sol、la、xi称为唱名。
如果借助钢琴键盘来理解的话，这一说法还可以更加形象，即钢琴上所有的白键，都可以称为基本音级。
基本音级
- 什么是八度?
在日常生活中，我们会听到类似于“低音1（do）”、“中音1（do）”、“高音1（do）”这样的概念。
通俗地说，低音1与中音1就是八度的关系，中音1与高音1也是八度关系。
专业一点，在钢琴的键盘上，距离最近且两个具有同样音名的音，称二者相距一个八度。
如从c1到c2是八度关系，从c2到c3也是八度关系，从c1到c3是两个八度。（C为do音，1、2、3为角标序号，以区分音名相同但音高不同的音）
八度关系图
另外，补充一个物理学上与八度相关的知识。
有一定物理学基础的读者们应该知道，我们平时所听到的声音的高低，和发声体的振动频率有关：振动的越快、频率越高则声音越高，反之声音则越低。
而钢琴的声音，就是由琴弦的振动来产生。
两个音若是八度关系，那么它们的振动频率之比就恰好是1:2。
比如，若C2的频率为f。那么比其高一个八度的C3，振动频率就是2f；
比其低一个八度的C1，振动频率就是0.5f。
明白了上面这些概念，我们就可以进一步探究三分损益法了。
想必大家由日常生活中的经验，可以很容易明白这样一点：
并不是任意几种声音随便组合起来，就能形成好听的音乐。
对于音调高低不同的几种声音，有一些声音放在一起会很和谐，人们听起来也会觉得惬意动听。
但有些声音若将它们组合在一起，就会很不和谐，听起来很刺耳、甚至像是噪音。
古时候的人们也明白这些，所以他们想要在各种不同音调的声音中，挑选出相互组合起来能够比较和谐的那些声音。
然后再将这一系列声音按照音调高低排列起来，形成音阶。
如若从这样一种音阶中选取不同的声音来进行音乐上的创作，不就更容易构成一首和谐动听的乐曲吗。
那么，如何找到这一系列互相组合却仍然能够保持和谐的声音？
这里就需要再次牵涉到物理学，对于一根弦（或是律管）来说，它振动的频率与其自身的长度成反比。
当你用手指拨响琴弦使其振动发声，那么琴弦的长度越长，则振动越慢、频率越低，声音也就越低；琴弦的长度越短则振动越快、频率越高，声音越高。
古代的人们虽然没有如今这样牢固的物理学知识作为理论基础，但是也能从长期的生活经验中总结出类似的规律。
于是，古人尝试着通过不断改变琴弦（或律管）的长度，来寻找这一系列和谐的声音。
人们将弦的两端固定，用手指固定住弦上的某一点，再拨响该点左侧或是右侧的部分，就相当于是改变了每次发声的琴弦的长度。
并且这样一种分割琴弦的方式，很容易将分割后的琴弦所发出的的声音，与原长度琴弦的声音来进行对比，从而知道新产生的音与之前的音是否和谐。
为了方便起见，我们假设原琴弦长度为1、拨响发声时的振动频率为F。
首先是最简单的分割，即将弦的长度一分为二。
用一只手固定住弦的中点处，另一只手拨响中点左右任意一侧的琴弦。
由上面所说过的弦的长度与振动频率的关系，长度只剩1/2的琴弦，那么其振动频率应是原本长度琴弦的2倍，即为2F。
由上面八度的知识，我们又可以知道，通过将琴弦长度二等分的方式，所产生的新的音与原来的音恰好是八度关系。
人们发现，通过这种方式产生的新的声音，与原琴弦的声音几乎可以完全交融在一起，当它们共响时，听起来的感觉就像是只有一个音。
但是，这对他们来说似乎并没有多大的意义，因为这样找到的音，它们其实都是同一个音名，只是音高不同罢了。
用如今通俗一点的话来说，就像是人们由低音1（do）找到了中音1（do），又由中音1（do）发现了高音1（do），再由高音1（do）找到了更高的1（do）音......
这些音虽然组合在一起听会无比和谐，但是也太单调了，无法形成丰富动听的音乐。
于是，人们继续尝试用其他的比例来分割琴弦。
用手固定住弦的1/3处，人们发现2/3长度部分的琴弦拨响时所发出的音，与原琴弦发出的音比较和谐；
用手固定弦的1/4处，同样发现3/4长度部分的琴弦拨响时所发出的音，与原琴弦发出的音也有那么些和谐，但和谐程度不及2/3的部分；
再之后，人们又继续尝试了1/5、1/6、1/7、1/8....这些特殊的位置。
但发现无论如何，都无法产生与原琴弦声音相和谐的新的声音了，这些新产生的音与原来的声音相对比起来总会很刺耳。
这时候似乎陷入了僵局，只找到了两个音，就找不下去了。
但好在，古人的智慧总是会让我们惊喜。
既然往下找再也找不到合适的音，那为什么不在之前分割的基础上，再进行同样的分割呢？
在2/3长度的基础上，再取2/3，那么这样产生的声音和2/3部分的声音是和谐的，而2/3部分的声音又与原琴弦声音和谐，那么新产生的声音不就也能与原琴弦声音相和谐吗。
这就是一种巧妙的和谐传递过程。
这样一来，问题就出现了转机。
但我们得明确的是，我们所要找的一系列音，都得是在一个八度之内，这样最后才能排列形成音阶。
这时候就需要研究在各种分割下，不同部分琴弦的振动频率。
原琴弦的频率为F，则与其恰好为一个八度关系的频率就是2F。
所以，人们所需要的合适的声音的频率，应该处于F→2F这样一个范围内。
至此，人们终于找到了足够的依据来形成五声音阶：
第一个音，就是长度为1的琴弦自身振动所发出的声音；
第二个音，是长度为2/3的琴弦发出的声音，其与第一个音较为和谐。
第三个音，我们将2/3长度部分的琴弦，再取它的2/3，得到长度为4/9的琴弦，那么它的振动频率为9/4F。
但9/4F已经明显超过F→2F这一范围内了。
没关系，由八度之间的频率关系，我们可以知道频率为9/4F的音，在F→2F中所对应的、比它低一个八度的音的频率，应该是9/4F的二分之一，即为9/8F。由频率与弦长成反比可知，与频率9/8F对应的弦长为8/9。
第四个音，我们将从4/9长度的琴弦中再取2/3，即2/3的3次方得8/27，其频率为27/8F，同样超过了F→2F的范围，将其频率减半得27/16F。与该频率对应的弦长为16/27。
最后，第五个音，取2/3的4次方，得16/81，频率为81/16F，频率减半后为81/32F，仍然超过范围，再减半得81/64F，正好处于F→2F之间。与该频率对应的弦长为64/81。
因为我们在开始时所设的弦长为1，而司马迁《史记·律书第三》中所记载的初始长度为81。
没关系，我们将所得到的弦长1、2/3、8/9、16/27、64/81全部扩大81倍，这时候你发现了什么？
81、54、72、48、64，我们得到了与《史记》中所记载的数据完全一致的结果。
虽然《史记》中所记载的“三分损益”的方法与上面相比更为简单，但思想本质其实是一致的。
因为不论是“三分损一”所对应的2/3、还是“三分益一”所对应的4/3，始终都离不开古人所总结出的这两个重要的比例，即2：3与3：4。
而在今天的物理学中，人们发现频率比为2：3两个音，它们所构成的音程恰好就是纯五度；频率比为3：4的两个音，它们所构成的音程恰好就是纯四度。
在现代乐理中，纯四度和纯五度又叫做协和音程，意思是处于这样一种关系的两个音，它们融合在一起听给人的感觉，是比较和谐的。
这样看来，在缺少现代各种科学理论支撑的情况下，古人完全凭靠自己的智慧经验以及不断的探究摸索，就已经找到了音乐体系中音与音之间的规律，形成了影响至今的五声音阶。
中国人的聪明才智、中华文化的博大精深，由此可见一斑。
写在最后
事实上，古人在由三分损益法得到五声音阶后，并未就此停滞，而是继续“损益相生”。继五声音阶之后，又生成了变徵和变宫两个音，组成了七声音阶。
但这样还不够，最后人们一共损益相生了十一次，生成了十二个音，形成了所谓的“十二律”。
然而，人们发现通过这样的方式，在损益相生十一次之后，却再也回不到最初的起始音上来，再往下生成，声音的种类将会无穷无尽。
在三分损益法出现约一百年之后，西方世界的古希腊数学家毕达哥拉斯也提出了思想与三分损益律类似的五度相生律。
但不论是三分损益律、五度相生律，由这些律制所产生的各音阶，它们之间频率的比值并不是固定的，所以它们也被称为不平均律。
这也是为什么“三分损益法”在生成十一个音后却再也无法回到起点。
这样一来形成的音阶，就无法做到周而复始、循环往复，就会面临转调上的各种问题。
两千多年来，数不清的数学家、音乐家为此呕心沥血，想找到一种能够实现自由转调的方法，但均毫无所得。
朱载堉
直到明朝时中国一位划时代人物的出现，彻底改变了这样一个局面。
他极具创新地提出了十二平均律这样一个学说，解决了当时这个困扰了人们几千年的音乐难题。
在十二平均律中，以任意一个音为起点所构成的音阶，均能无往不复。
正是因此，它为近现代音乐的一系列新理论的诞生开拓了无比宽阔的道路，各种键盘乐器也因此而蓬勃发展。
那么，什么才是真正的十二平均律呢？
又是在什么样的时代与人物背景下，才诞生了这样一个伟大的乐律？
十二平均律中又藏着哪些精妙的科学理论，它的发展和应用又经历了怎样的坎坷命运？
在日后的文章中，将聊一聊我国明朝时的大音乐家朱载堉以及诞生在他手中的十二平均律。