如何从几何上刻画时空弯曲？

因为有物质的存在，就会造成时空弯曲

这里是意大利的一位画家所画的画叫《软表和时间》时空弯曲是否就如图中所画呢？

把时空弯曲刻画出来，我们就需要借助于几何

广义相对论理论它认为，有物质的存在，就提供了引力源，会造成时空的弯，并且时空弯曲的程度是由引力场的强弱所决定的。

爱因斯坦意识到了这样的观点，那么他是如何来实现这个弯曲时空的几何呢？

这是他的好朋友格罗斯曼给他建议，用黎曼几何来研究弯曲的时空。

很有可能会是三种不同的情况，一个二维的空间曲面可能表现为是一个平面，也有可能表现为是一个球面，还有可能它现为一个马鞍面。

生活在不同的空间上的一个观测者所感知的世界会有所不同，几何是研究形态和空间关系的学科。

在公元前300多年提出了欧几里得几何，我们已经非常熟悉，在欧几里得的几何下，我们知道平行线永不相交，三角形内角和等于180，圆的周长等于2π乘以R，甚至这样一个球的面积等于4π乘以R的平方。

欧几里得几何接下来2000年的时间里都是被当做我们唯一的一种几何，随着不断的发展到后来逐渐发展起来的非欧几何。

这里展现了一个几个物体，有球体，有圆柱体，还有圆锥面。

在这里问大家一个问题，球面，圆锥面，它是否具有相同的几何呢？

像几何我们如何来表征，通常我们会用这样一个线元来表征它，我们可以采取笛卡儿直角坐标系，它的横坐标为X，纵坐标为Y。

坐标当中任何一点，我们都可以用坐标括号X，逗号Y来表征

我们可以在这里取一条曲线P和Q，我们可以把这个P和Q这条曲线，把它分成为用n段直线把它表征。

当然如果我们把这个线段取得足够足够小，那么每一段都是直线，那其中每一小段它的长度是多少呢？

因为我们这里所采取的是直角坐标系，那么距离它应该是满足毕达格拉斯定理，也就是说距离dl的平方应该是等于dx平方加dy的平方。

如果我们把线段取得非常非常的小，当这个n趋于无穷，那我们就可以把这样一个过程用微分的形式来表征，就可以写成线元。

所以说像这样一个曲线的长度，我们就可以沿着这样一个，PQ曲线的方向dl做积分，我们就可以给出表达，所以线元它就代表了，空间的性质。

在直角坐标系下，我们可以写线元dl的平方，是等于dx平方加dy的平方。

当然如果我们要来描述空间当中某一条线的性质的时候，单单取线元的表达是不够的，我们还要给出在这个空间当中，曲线是如何走的。

所以我们在这里展现了两种情况，我们可以取Y等于X平方，这个抛物线的情况。我们也可以取这样一个圆，比方说X平方加Y平方等于1的情况来进行展示。

我们在这里是展示了在欧几里得几何下圆的周长计算，当然我们这里可以取一个变量U来表示。

在这里我们可以取一个圆，它的中心在圆点，圆周上一点跟中心的连线的夹角取θ，它的X就可以写成半径乘以cosθ，Y等于sinθ来表征。

所以我们通过沿着路线的积分，就可以把圆的周长给它算出来。

笛卡儿是一个直角坐标系，我们可以把这个直角坐标系通过坐标变换，把它变成这样一个平面极坐标系，我们可以获得平面极坐标系，它线元的表达，那就是dl平方等于dr平方再加上r平方乘以dφ的平方，ф就是极角。

对于这两种不同的线元形式，它可以通过坐标变换的形式来实现，所以说它应该是具有相同的几何

所以我们回到开头的时候，我们所问到的一个问题，圆柱面上的几何它会怎样？它是否会跟一张纸上面的几何是一样的呢？

我们可以通过非常简单的方式，就可以把它加以证明我们可以把这样一个，在这圆柱面和纸上的PQ两点之间距离把它写出来。

在平直的纸上，它的距离可以写成L平方加δX平方加δY平方来写出，而对于圆柱面上的距离我们可以写成δX平方加上R乘以δφ的平方。

这实际上是可以通过坐标变换来实现它，所以说它具有完全相同的几何的行为，所以线元可以刻画空间的性质。

我们把这个问题再往前走一步，我们同样可以把三维的直角坐标系，写成三维的球极坐标系那么在三维的球极坐标系下它的线元的表达，可以写成DR的平方加上R平方乘以Dθ平方再加上R平方sin平方θDφ的平方。

那么在这样一个三维的球极坐标系下，我们来研究一个二维的曲面，给一个约束。

我们假定考察半径为大R的这样一个球面，所以说在这个三维的线元当中，这个大R为常数，所以我们这样一个线元就变成了，R的平方乘以Dθ的平方再加上R的平方sin平方θDφ的平方。

那么这实际上是一个二维空间的线元表达，在这种情况下所表述的这样一个空间它的几何的性质就落在一个球面上。

对于这种球面我们很容易可以跟先前直角坐标系下二维的情况来进行比较，实际上我们可以试算一下，你找不到任何一种方法把它回到二维的笛卡儿直角坐标系或者在欧几里得的情况下，它的二维的圆柱的坐标之下。

如果我们在这个球面上可以做一些事情，同样我们二维的球面几何当中，我们也可以来研究它的几何。

比方说我们沿着这样一个，它的极轴的方向可以来做一个圆周，我们沿着这样圆面取一段小弧那么拿这段小弧顺着这样一个端点，可以画一个周长。

那么在这种情况下我们会发现，它的周长和它这样一个，跟端点这个弧之间的关系，那么像是满足于周长，不再满足于2πR乘θ这样关系。

因为我们这段弧的长度是R乘θ，所以这样一个结果会发生一些变化，当然我们在这个球面上，我们如果还可以定义出，这样一个直线的话，那我们也可以构造出球面当中三角形

在这个球面上的三角形，它会有一个非常有意思的特征，这样一个三角形，它的内角和等于多少呢它不再是我们先前所讲的，欧几里得几何三角形内角和等于180。

内角和是等于三条边所包括的这个球面当中的这样面积，再除以这样一个球的半径的平方。

所以说如果，这个三角形它的面积越大，那么它相对于欧几里得几何的偏离就越强。

当然这个展示也给我们一个印象，在2000多年前我们所生活的时代，我们生活的区域非常非常的小。

所以我们感知的几何，就是欧几里得几何，所以非欧几何它出现的比较迟，也是完全可以理解的。

有了这样一个弯曲时空，或者说弯曲空间当中几何，我们就可以来理解爱因斯坦广义相对论他的弯曲时空的几何。

那么弯曲时空情况下，我们就要把欧几里得几何把它改掉，用弯曲时空几何，用黎曼几何来表征它。

那么在黎曼的情况下，它会有所对应的一些特征，那么在欧几里得情况下，平直空间的几何，它可以统一构造直角坐标系来描述，而在黎曼几何下，我们无法构造统一的这样一个直角坐标系。

那么黎曼几何它实际上是研究这样一个弯曲时空的几何，如果我们这样一个，所处的空间是引力场非常弱的这样时空。

那么它实际上是可以用，闵可夫斯基时空来表征，那么线元左边是它一个边线元的平方右边的第一项是代表它的这样一个跟时间有关的量。

然后后面的三项是跟空间位置有关量，所以空间部分我们看到，它是满足欧几里得几何这样的要求那么如果把它进入到这样一个，变换这样广义相对论下，那么它变成一种弯曲时空的几何

那么它这个坐标，我们就应该写成DXμ乘以DXν，前面有一个度规系数gμν来表征，那么这就可以来描述这样一个时空它的特性。

当然这样一个线元的表达，我们还可以看到如果考察是一个粒子是一个光速运行的粒子那么显然它这个ds平方是等于零的。

这也对应的是一个零测地线的这样行为研究几何，可以让我们跟伟大的数学家同行。

丘成桐曾说过21世纪的物理学，是一个几何物理学的时代它可以影响到对宇宙的理解，当然对弯曲时空的这样研究，不仅仅可以用黎曼几何来研究它，实际上还可以通过微分几何的方式来研究它。

我们知道现在的这样天文学，是一个几何的天文，所以说人们在构造一些探测器，来测量我们这样一个宇宙的几何。