七下21讲 因式分解典例全覆盖(上)——四口诀破提公因式法&平方差公式

写在前面

时光飞逝，转眼间，期末考试已不足一月，在期中考试前，我们的重点内容之一是《整式乘法》一章，但还有一块《因式分解》的内容没有学，原因是这两块内容是互逆过程，很多同学初学时非常容易混淆，为此，在学完二元一次方程和一元一次不等式后再学，可以避免混淆，也起到前后串联，方便复习的效果，本讲重点针对提公因式法和平方差公式法．

一、因式分解的概念

因式分解，顾名思义，是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是整式乘法的逆过程，最后的结果，一般都写成(  )·(  )的形式．(   )间没有＋，－号．

例1：判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解?

分析：

通俗来讲，最后结果中，最后一步是加减法的，是整式乘法．

最后一步是乘法的，是因式分解．

但在第(7)问中，我们发现，部分项在做因式分解，属于分解不到位，所以都不算．

解答：

(1)因式分解(2)整式乘法(3)整式乘法(4)因式分解

(5)整式乘法(6)因式分解(7)都不算

二、公因式如何确定

一看系数：各项系数的最大公约数

二看字母：各项相同的字母

三看指数：各项相同字母中的最低次幂

多项式也能作为公因式

三、因式分解的步骤

较为复杂的因式分解必须做到三步，提，公，彻．

第一步，有公因式，先提公因式，注意一次提清，尤其是系数，不能遗漏．

第二步，运用公式，无非是平方差公式和完全平方公式．

第三步，分解彻底，比如有的时候还有公因式可提．

四、因式分解的常见类型及口诀

1、提公因式法

2、公式法

提公因式法

口诀：提负要变号

例1：

分析：

当多项式第一项的系数为负时，通常把“－”作为公因式的符号写在括号外，使括号内第一项的系数为正，在提出负号时，多项式的各项都要变号！

解答：

变式：

提公因式法

口诀：因同不漏1

例2：

分析：

如果提取的公因式与多项式中的某一项相同，那么在提取后的多项式中，这一项剩下的“1”不能漏写!

解答：此处有误，应为x(3x－6y＋1)

变式：

提公因式法

口诀：单在多之前

例3：

分析：

当多项式被一次提清，分解后，如果是几个单项式与多项式的积的形式，则将单项式相乘，写在多项式的前面．

解答：

提公因式法

口诀：分解要彻底

例4：

分析：

当多项式被一次提清，分解分解为多项式与多项式的积时，也要观察多项式中是否还有公因式可提，或者能否用公式，再一次分解．

解答：

对于多项式的底数互为相反数的，我们适当换底也能用提公因式法，如：

其实这是运用了之前互为相反数的奇次幂互为相反数，互为相反数的偶次幂相等的结论，这里，奇次幂互为相反数，说明换底之后，前面的符号有变化，我们可以再总结一个口诀，符号看指数，奇变偶不变，即指数为奇数，换底为原来的相反数时，式子前面的符号要变号．当然，这个口诀在高中学习三角函数诱导公式时，还会有不同的涵义！

例5：

平方差公式

平方差公式

例1：

错解：

分析：

产生这种错误的原因，还是在于相反数的概念不清，a＋b的相反数并非a－b，而是－a－b，故本题不可采用提公因式法，应采用平方差公式法，其中，

3(a＋b)看作公式中的a，2(a－b)看作公式中的b．

解答：

变式：

平方差公式

例2：

错解：

分析：

产生这种错误的原因，在于没有注意因式分解第一步，有公因式要先提，这里可提公因式4．

解答：

变式：

平方差公式

例3：

错解：

分析：

产生这种错误的原因，在于没有注意到因式分解要彻底，这里的a²－9项，符合平方差公式特点，还能继续分解．总得来说，含4次项的题，一般要分解两次．

解答：

变式：

本讲思考题：

求证：817－279－913能被5整除．