八下第七讲 涉及等腰三角形边角计算的2个思想
写在前面
在《等腰三角形的轴对称性》一节中，会出现许多边角计算题，考虑到等腰三角形的边分为腰和底边，角分为顶角和底角，许多题就不止一解．
而对于度数计算题，若条件不够，必须去设某些角为未知数运算．因此，这就需要用到分类讨论思想与方程思想．
一．角度运算中的分类讨论思想
例1 根据下列条件，求等腰三角形中各角的度数．
（1）一个角为70°
（2）一个角为100°
（3）一个外角为70°
（4）一个外角为100°
（5）一个角为x°
（6）一个外角为x°
1
分析
给出等腰三角形的一个内角度数，我们就要考虑它可以作为顶角，也能作为底角．
给出一个外角度数，则先考虑它的邻补角度数，即转化为给出一个内角的问题．
遇到用字母表示的角，首先需要对这个角与90度的大小关系进行分类讨论
解答
2
（书写时顶角在前）
（1）70°为顶角，则三个角为70°，55°，55°
70°为底角，则三个角为40°，70°，70°
（2）120°只能为顶角，三个角为100°，40°，40°
（3）70°角只能是顶角的邻补角，
三个角为110°，35°，35°
（4）100°角为顶角的邻补角，
则三个角为80°，50°，50°
100°角为底角的邻补角，
则三个角为20°，80°，80°
例2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，求底角度数．
1
分析
涉及到等腰三角形一腰上的高，通常我们也要对顶角的度数分类讨论．
若顶角是锐角，则高在形内；顶角是钝角，则高在形外；顶角是直角，一腰即为另一腰上的高．
这样的题目一般无图，需要自己画图分析，所以我们要养成勤画图的习惯．
解答
2
见上图，底角为75°或15°．
例3 等腰三角形ABC中，AD是BC边上的高，且2AD＝BC，求底角度数．
1
分析
本题是例2的升级版，例2很明确，一腰上的高．而本题只说是BC边上的，因此，BC边就需要分底边还是腰分类讨论．
而如果是腰，则还需讨论，高在形内还是形外．因此，本题需要自行画图，两次分类讨论．
解答
2
见上图，底角为45°或75°或15°．
小结：
· 等腰三角形形状不明确时，顶角可能是锐角，也可能是直角，钝角．
· 说等腰三角形的角或边时，一般要指明是底角还是顶角，是底边还是腰．
· 等腰三角形一腰上的高可以在三角形内，还可能在形外（一般需自己画图）．
二．边角运算中的方程思想
例1 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为6和15两部分，则其底边长为_______．
1
分析
一腰上的中线将三角形周长分为的两部分，分别是1.5倍的腰长，和腰长的一半与底边长之和，因此也要进行分类讨论．
涉及到2个未知数据，为了计算简便，我们不妨设腰长的一半为x，底边为y．最后，还要就三段长能否构成三角形再作分类讨论．
解答
2
见上图，底边长为1．
例2 如图，在△ABC中， AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A等于______．
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分析
这道题中，所有的角度数都是未知的，因此，必须要用方程思想．关键在于设哪个角为x．
这里有∠1＝∠2，∠3＝∠A，∠5＝∠C＝∠ABC，相等的角很多，我们可以设其中最小的∠1为x，计算最为简便．同时，要注意多运用外角．
解答
2
设∠1＝x°，∠2＝x°，
∠3＝∠A＝ 2x°，
∠5＝∠1＋∠A＝∠C＝∠ABC＝3x°
在△ABC中，
∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
2x＋3x＋3x＝180
x＝22.5
∠A＝ 2x°＝45°
例3 如图，在△ABC中，BD＝BA，CE＝CA，∠BAC＞90°，探究∠BAC与∠DAE的数量关系．
（苏科版八上教科书P75：14）
1
分析
本题作为教科书中的一道练习题，是一道好题．依旧不给出任何角的度数，必须设未知数．
这里又遇到了设哪个角为x最简洁的问题．如果在等腰三角形中要设一个角为x，显然设底角为x，更简洁．另外，依旧要多运用外角．
解答
2
设∠1＝∠2＝x°，∠3＝∠E＝y°
则∠B＝(180－2x)°，∠4＝2y°
∠BAC＝180°－∠B－∠4
＝(2x－2y)°
∠DAE＝∠2－∠E＝(x－y)°
∴∠BAC＝2∠DAE
小结：
· 一般设等腰三角形的底角为x．若图中不止一个，可再设其他等腰三角形的底角为y．
· 若不同等腰三角形共用腰，则可设最小角为x，借助外角表示其他角．
· 关于边的计算，在分类讨论之余，还需注意三边关系．
本讲思考题：
在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N是BC，DE的中点
(1)求证：MN⊥DE．
(2)连接DM，ME，猜想∠BAC与∠DME的关系并证明．
（提示：因根据三角形形状自己画图分类讨论）
答案详见下期精彩！
END