2017无锡中考数学不完全解析（3）——对28题一些不同解法的探究
2017年无锡中考数学已结束一周，最近两天，第28题引起了一些同仁的兴趣，也在网络上进行了热烈的研讨，现将自己的想法与网络研讨时各位的想法作一个整理．
第（1）问解析：
本题中，P、E、B三点共线是关键，根据AD＝BC＝6，以及△PDC经过翻折得到△PEC，可以得到2个重要条件：
(1) DC＝DE＝4
(2) 平行＋角平分，构造等腰三角形．
第（2）问解析：
要想解决压轴题，首先要解决的就是读懂题意！犹记得去年无锡的压轴题，“做一个柱体形篮框……”，文字很长，但真正读懂题意，从俯视图平面入手，则是一个很简单的问题．
回到今年这道题，文字相对简洁的多，“有且只有一个时间t，使得点E到BC的距离为3”．我们要思考的是，到底是什么情形．
先直接引用常州于新华老师的解析，这也是我在监考完所思考的内容．
【这里要求m的取值范围．关于这种类型的问题，有一种思考方法显得非常重要，那就“反其道而行之”．
具体说，假如m没有范围限制，又将如何？
那么如何进一步思考呢？“夸大”思考或者说“极端思考”，假如AD非常短如何？AD非常长又如何？
假如AD非常短，点D关于直线PC的对称点E，相对于BC边来说，就比较“高”，进一步说，就无法满足条件要求的“存在点E到直线BC的距离等于3”．
假如AD非常长，长到使∠ACD趋近于直角，则点D关于直线AC的对称点E几乎落到点D的正下方（这是极限位置，实际上是达不到的）．
在这两个“夸张过程”的思考中，你将逐渐明白条件“点E到直线BC的距离3”“有且只有一个”的要求合理性．】
一、整体感知
下面，以一个几何画板的GIF动态图来演示一下动点P在整个运动中，三角形翻折的过程．我们知道，到直线BC距离为3的点组成了2条直线，我们以l1，l2表示，由于CE长为4始终不变，则点E在以C为圆心，4为半径的半圆上运动，两个蓝色的点即点E可能的位置．（已提前画好了此时AB的位置）
(1) 当点P在A1D上时，E点落在与直线BC距离为3的直线l1上方，此时就无法满足条件要求的“存在点E到直线BC的距离等于3”．
(2) 当点P与A1重合时，此时点E与在l1上的蓝色的点重合，即满足条件要求的“存在点E到直线BC的距离等于3”
(3) 当点P与A2重合时，此时点E与在l2上的蓝色的点重合，即满足条件要求的“存在点E到直线BC的距离等于3”
根据这三种情况，我们可以发现
（1）若m＜A1D长度，则不存在．
（2）A1D长度≤m＜A2D长度，则只存在上方一个点．
（3）m＞A2D长度，则可存在上下方各一个点，共2个点．
二、具体计算
(1) 点E与在l1上的蓝色的点重合
(2)点E与在l2上的蓝色的点重合
三、倍半角模型的运用
其实以上两种方法可能是大部分同学的自然解法，但是，还有没有其他解法呢？
于新华老师又祭出了他的“倍半角模型”，【简单地说，知道一个角的大小（用三角函数表示），如何求出是这个角度数一半的角的大小（仍用三角函数值表示）．
方法极其简单，就是一个反向延长取与斜边相等的过程．】
为什么会有这种做法呢？其实，是因为我们知道了∠PCD是∠ECF度数的一半，而∠ECF的正切值又已知，那么，就可以从解直角三角形的方向来考虑问题．
那么如何最快构造一个角，是∠PCD的一半呢？我们可以把∠PCD看作一个等腰三角形的外角．
那么，对于A2D，我们可以如法炮制，这里其实更为简单，连接DE，∠ECF作为△DCE的外角，等于2∠1．
当然，也许对于无锡的这道压轴题，可能“倍半角模型”并不是最自然，最简单，适合学生的解法，那么下面一题呢？
至此，对无锡2017年中考数学的解析告一段落，感谢各位的关注！
附：浙江陈岗的倍半角公式