【最值系列】分享几道最近做的最值问题
《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。
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本文分享最近两天做的几道最值问题，题目来源于网络，个人觉得不错，故在此做个分享，解法不定最佳，若有更好的解法或其它的思考欢迎交流分享，因本人公众号写作属于单兵作战，加之水平能力所限，难免有些瑕疵，欢迎批评指正.
如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA的长为半径画弧，点M为弧AC上一点，MN⊥CD于N，连接CM，求CM-MN的最大值.
连接BM，过点B作BG⊥MC，由黄绿两三角形相似，则有x:y=2y:4，进而有y2=2x，所以CM-MN=2y-x=2y-1/2y2=-1/2(y2-4y)=-1/2(y-2)2+2，当y=2时，CM-MN有最大值为2.
圆上的动点自然联想到动点到圆心的距离为定值，故连接BM，当MN变化时MC的长度也在变化，当MN确定时MC的长度随之确定，故MN和MC之间是函数关系，所以建立函数模型，借助函数求出最值.
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=BC=2，D是BC的中点，P是AB边上的动点，A、P、D三点的圆交PC于点Q，求AQ长的最小值.
等腰直角三角形，点D是BC的中点，连接AD，则∠BAD=45°，连接DQ，则有∠PQD=45°，则∠DQC=135°，其对边DC为定长，根据定弦对定角模型知，点Q在△DQC外接圆DC所对的劣弧上运动。
当点Q运动至AO上时AQ有最小值为√5-1.
本题的关键是分析出点P在运动过程中∠DQC=135°这个不变量，然后依据“定弦定角”模型确定动点Q的运动轨迹，最后点圆最值即可求得AQ的最小值。解决此类单线段最值问题，依然是分析变化过程中不变的量或关系，确定动点的运动轨迹即可求解.
在平面直角坐标系中，已知A(2,4)，P(1,0)，B为y轴上动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC=90°，M为BC的中点，求PM的最小值.
直角、中点条件的指向和明确，连接AM、OM，斜中性质有AM=OM，而点A、O为定点，故点M在AO的垂直平分线上，单线段最值确定动点的轨迹是解题的关键.
垂直处理构“三垂直”相似，根据相似三角形对应边成比例，不难求出PG的值，由“垂心段最短”知PG长即为PM的最小值.
本题关键是确定动点M的运动轨迹，发现运动过程中MA=MA不点的数量关系是确定M轨迹的关键，确定点M的轨迹是AO的垂直平分线，接着依托垂直构相似求解.本题亦可设参建立函数模型求解，各位读者可自行尝试解决，上面已有一例，故笔者在此不再赘述.
如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=6，点E、F分别是AD、CD上的动点，EA=DF，点G是EF的中点，求GA+GC的最小值.
设AE=DF=x，则点E坐标为（0，x），点F坐标为（x，6）
故点G的坐标为（x/2,(3+x/2）,故点G在直线y=x+3上运动，
如下图，点G在线段MN上运动，求GA+GC的最小值，对称、连线、勾股计算即可.
求共端点线段和最值属于典型的“将军饮马”模型，本题的难点在于将饮马点所在的“河”隐了，探寻点G运动的轨迹（定河）是破解本题的关键，可从代数和几何两个角度来确定点G的轨迹.