一课研究之“鸡兔同笼VS方程思想”（20210211）
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听一听：假设思想和方程思想
读一读：基于五年级上册学生解决“鸡兔同笼问题”情况分析，浅谈“鸡兔问题”与“方程思想”。
轻松一刻：数学老师的新年贺词
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节选自吴正宪老师主编的《小学数学教学基本概念解读》假设思想和方程思想。
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01
此“鸡兔问题”与“鸡兔模型”一样吗？
上图是五年级上册第81页练习十七第6题，是配合简易方程例4的练习。
看到这个题目，除了应用本单元的方程策略来解决，同学们不禁想问：“能不能用四年级下册学习的鸡兔同笼问题策略来解决呢？”让我们来试一试吧。
①可以用画图法吗？
一只鸡和一只兔同时圈一圈，能够得出结果，但与鸡兔问题模型的画图法仍有区别。
②可以用列表法吗？
③可以用假设法或抬腿法吗？
学生尝试了很久，由于不知道鸡和兔的总只数所以都认为假设法或者抬腿法解决不了这个问题。
④应用算术思想和方程思想的策略
02
鸡兔同笼与简易方程的区别与联系
1．两个例题
左图：四年级下册“数学广角——鸡兔同笼”例题1
右图：五年级上册“第五单元简易方程”例题4
左图：是在古代趣题的基础上呈现了一道数据比较小的鸡兔同笼问题，在引导学生探索解决问题方法的过程中，呈现了猜测、列表、假设等方法。
右图：这个例题的特点是要求两个未知数，而且用两个已知条件来说明未知数的关系，比如已知两个未知数的和与差，或者已知两个未知数的和（差）与两个未知数的倍数关系。
这两个例题的相同点是，都有两个相关联的未知数，都是根据一定的数量关系来求这两个未知数分别是多少。不同点是简易方程例题4中的两个未知数可以成倍数关系，也可以成和差关系，而鸡兔同笼问题中的两个未知数成和差关系，所以五年级上册的简易方程例题4并不属于鸡兔同笼模型，而鸡兔同笼问题是从属于方程模型，也可以用方程思想来解决。
2．几种策略
比较上述两个例题的配合练习，可见假设法和抬腿法仅仅能够解决鸡兔同笼问题，有局限性。而画图法、列表法、方程法能够解决更多类型的数学问题。
３．一个问题
为什么五年级上册“简易方程”单元的练习中要编排鸡兔问题呢？
这道鸡兔问题所处的单元环境是五年级上册第五单元“简易方程”，这个单元的教学目标之一是初步学会列方程解决一些简单的实际问题，培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。这道练习是例4的简化，是实际问题与方程x+bx=c的应用，以鸡兔同笼为题材，设计为鸡兔只数相同，以了解当两个未知数相同时，设句可以怎么写，也是引发学生回顾能否应用“方程思想”来解决四年级下册的“鸡兔同笼问题”。
03
五年级上册的学生解决“鸡兔同笼问题”的调查分析
学生在四年级下册已经学习了“鸡兔同笼问题”，掌握了画图法、列表法、假设法、抬腿法等各种解决这类问题的策略。那么学生到了五年级上册期末阶段，对于这类问题还能不能辨识出来呢？还能不能应用上述策略解决呢？学生会不会应用其它策略呢？
1．调查问卷
２. 学生能否正确辨识鸡兔同笼问题
能够正确辨识“鸡兔同笼问题”的学生人数大约仅占了调查总人数的30%，大多数学生在半年间对该类模型有所遗忘，或者是与相近类型产生了混淆。
３. 学生在解决这两类问题时分别应用的策略
针对不同类型的问题，大多数学生采用了不同的策略来解决相应问题。“鸡兔同笼问题”中应用假设法的大约占了60%，列方程解决的人数大约占20%。“简易方程问题”中应用列方程解决的超过了55%，也有大约45%的学生列算式直接计算来解决。
在不能辨识“鸡兔同笼问题”的学生中，有极个别学生应用了画图法和列表法的策略来解决鸡兔同笼问题，这些学生解决另外三个问题时都采用了列方程解决。
在能够正确辨识“鸡兔同笼问题”的学生之中，出现了两类情况：一是鸡兔同笼三个问题都用假设法的，方程例题4的配合练习都采用算式计算；二是鸡兔同笼三个问题都用方程解决的，方程例题4配合练习也是用方程解决的。
04
“鸡兔同笼问题”与初中的“二元一次方程组”
初一七年级下册数学教材第2章“二元一次方程组”的主题图正是学生从小学就熟知的“鸡兔同笼问题”。
教材中有这样一段话“本章将学习二元一次方程（组）的有关概念，以及二元一次方程组的解法和应用。通过本章的学习，我们将找到解决上述问题的方法。”显然，学生在这里要学习运用二元一次方程来解决这类问题。原来人教版教材的“鸡兔同笼问题”安排在六年级下册，教材不仅编排了列表法、假设法，也编排了方程解决的策略，教材调整后编排在四年级下册后舍弃了方程策略，这样的取舍不仅是因为学生在四年级还没有学习方程，而且是要凸显列表法和假设法，以发展学生的抽象思维、推理能力和模型思想。
在各个不同版本小学教材“鸡兔同笼问题”教学中都采用了“列表枚举”，在初一下册数学教材“二元一次方程组”教学中，也编排着很多“列表法”。
在方程组中x、y的值必须同时满足各个方程的解，才叫做这个方程组的解，教材是通过“列表尝试”的方法引导学生理解二元一次方程的解，在小学教材编排中也是通过“列表尝试”的方法引导学生找到鸡与兔的只数。
先有算术思维，后有方程思想，这是从具体到抽象的跨越，难怪有初中老师感慨：“初中教学中，难点之一就是引导学生从算术思维到方程思想的转化。” 对于这一点小学老师也是深有体会的，正是在五年级上册简易方程单元的教学中。在例题4“用稍复杂方程来求解两个相关联量”的教学后可以回顾“鸡兔同笼问题”，引导学生用方程尝试解决，为初一下册的二元一次方程组的学习搭上一座可跨越的桥梁。
轻松一刻
新年贺词
2020可算走了，
2021如期而至。
因为21，
是个神奇的数字！
健康是21划，
幸福也是21划，
爱情是21划，
富贵也是21划，
和睦是21划，
勤奋也是21划，
崛起是21划。
不管37二十一，
2021加油！
你若盛开 蝴蝶自来
审核人： 方 群 毛 燕