立体几何专题2：等体积法探究
立体几何专题2：等体积法探究
Ø方法导读
等体积法:顾名思义就是利用几何体的体积相等进行转换求解几何体的体积和点到平面的距离等问题.纵观近几年的高考试题,我们不难发现立体几何考题,经常考查求点到面的距离和几何体体积的计算问题,同学们在解答时往往因空间想象能力不强,不容易直接找到几何体的高线(点到平面的距离)而无法继续求解,而且有时作出辅助线也不容易计算出结果.这时如果能想到等体积法,则可以给我们“柳暗花明又一村”的感觉.下面就我们就2019全国I卷文科第19题为例,感受一下等体积法的应用给我们带来的好处.
Ø高考真题
【2019·全国I卷文·19】如图直四棱柱
的底面是菱形,
,
,
,
分别是
的中点.
(1)证明:
平面
;
(2)求点
到平面
的距离.
Ø解题策略
该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,点到平面的距离的求解,在解题的过程中, 注意要熟记线面平行的判定定理的内容, 注意平行线的寻找思路,再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.
Ø解题过程
(1)连结
.因为
分别为
的中点,所以
,且
.又因为
为
的中点,所以
.
由题设知
,可得
,故
,因此四边形
为平行四边形,
.又
平面
,所以
平面
.
(2)∵
为
中点,
为菱形且
,∴
,又∵
为直四棱柱,∴
,∴
,又∵
,
,∴
,
,设点
到平面
的距离为
,由
得
,解得
,所以点
到平面
的距离为
.
Ø解题分析
(1)利用三角形中位线和
,
,可证得
,
,证得四边形
为平行四边形,进而证得
, 根据线面平行判定定理可证得结论;
(2)根据题意求得三棱锥
的体积,再求出
的面积,利用
求得点
到平面
的距离, 得到结果.
Ø拓展推广
1.等体积法求几何体的体积
(1)同一几何体等体积转换
等体积法一般应用于三棱锥中,如要求三棱锥
的体积,但不易求得
点到平面
的距离,即三棱锥的高无法求得,如果
点到平面
的距离容易求得,我们可以利用
进行求解.
在求解三棱锥或四面体的体积时,要注意观察图形中是否有线面垂直,我们尽可能寻找以原几何体的表面为底面,再寻找底面上的高,利用等体积法计算几何体的体积.
(2)不同几何体等体积转换
等体积法求几何体的体积也可以利用面积相等和高相等在不同的几何体中进行转化使用,即只要判断两三棱锥等底等高就可以利用等体积法求体积.
在求三棱锥的体积时,如果三棱锥底面上的高不易求出,常常通过换顶点运用等体积法求解,换成容易找到底面上的高的棱锥的体积求解,有时还可以利用三棱柱等分为三个等体积的三棱锥进行转化求解,也可以通过平行线上的点到同一平面的距离相等转化求解,或利用三角形相似对应边成比例计算出相应底面上的高,求得几何体的体积.
2.等体积法求点到平面的距离
在求空间几何体中的点到平面的距离时,往往很难作出垂线段,即便是作出辅助线也不容易通过已知条件计算其长度,此时,我们常常选用等体积法求解点到平面的距离.例如,如果三棱锥
中顶点
到底面
的距离
不易求出,而顶点
到平面
的距离
容易求解,就可以利用等体积法
,即
求解.
利用等体积法求点到平面的距离时,要先选择好所求几何体的顶点和底面,尽可能转化为以原几何体的面为底面,以便于计算,再结合所学知识求出底面的面积,利用三棱锥的体积公式计算出点到平面的距离.
3.等体积法求直线与平面所成的角
斜线与平面所成的角是由斜线与斜线在平面的射影所组成的图形.而斜线在平面内的射影与平面的垂线密不可分,所以在求线面夹角的时候,常利用斜线段、垂线段和斜线段在平面内的射影所组成的直角三角形来求解.
因此,在解题时可考虑先用“等体积法”求出点面距离( 即垂线段的长度) ,然后利用直角三角形中的正弦关系,便可求出所求线面角的正弦值,从而避免了找射影和确定线面角的麻烦.
4.等体积法求二面角的平面角
寻找二面角的平面角常用“三垂线法”.可以用“等体积法”求出点面距离. 再结合平面外一点到二面角的棱的距离,就可以利用直角三角形的边角关系求出二面角的平面角的正弦值.
变式训练1
如图,四边形
是直角梯形,
,
,
,
,又
,
,
,直线
与直线
所成的角为
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求三棱锥
的体积.
变式训练2
如图,在三棱锥
中,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)求点
到平面
的距离.
变式训练3
四棱锥
中,底面
为平行四边形,侧面
底面
.如图,已知
,
,
,
.
(1)证明
;
(2)求直线
与平面
所成角的大小.
变式训练4
如图,平面
平面
,四边形
与
都是直角梯形,
,
,
,
,
.
设
,求二面角
的正弦值.
变式训练5
正三棱锥的高为
,底面边长为
,正三棱锥内有一个球与其四个面相切,求球的表面积与体积.
答案
变式训练1
见解析.
(1)∵
,
,
,∴
平面
,
又∵
平面
,∴平面
平面
.
(2)取
的中点
,则
,连结
,
,
∵
,
,∴
,
,
又
,
平面
,∴
为矩形,
平面
,
∵直线
与直线
所成的角为
,
∴直线
与直线
所成的角为
,即
,
又∵
,
,
,∴
,
∵
平面
,
平面
,
∴
,即
为
,
∴
,∴
,
∴
.
变式训练2
见解析.
(1)取
中点D,连结
,
,
∵
,∴
,∵
,∴
,
∵
,∴
平面
.
∵
平面
,∴
.
(2)由(1)知
,又
,且
,∴
平面
,在
中,
,∴
.
设点
到平面
的距离为
,由
,得
,解得
.
变式训练3
见解析.
(1)作
,垂足为
,连结
,
由侧面
底面
,知SO垂直底面
,
因为
,所以
,又
,
故
为等腰直角三角形,即
,
由三垂线定理,得
.
(2)连结
.由(1)知
,且
为BC中点,
平面
.
依题可知
,故
.
由
,
,
,得
,
,
∴
,
.
设
到平面
的距离为
.
由
,得
,解得
.
设直线
与平面
所成角为
,则
.
变式训练4
∵平面
平面
,平面
平面
,
,
∴
面
,故
和
都是直角三角形.
设
,则
,
,
,
,
.
设
在面
内的射影为
,作
于
.
连结
,由三垂线逆定理,知∠BGH为二面角
的平面角.
中,
,由
,得
,
∴
,∴
.
所以,二面角
的正弦值为
.
变式训练5
.
球
是正三棱锥
的内切球,
到正三棱锥四个面的距离都是球的半径
.
是正三棱锥的高,即
,
是
边中点,
在
上,
的边长为
,
∴
.∴
,
可以得到
,
.
由等体积法,得
,
∴
,得:
,
∴
,
.