粘度为μ，密度为ρ的不可压缩牛顿流体，受静水压力p和加速度g的作用，其运动可以描述为满足纳维尔（叶）－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的速度矢量场V：

我们用复数形式来表示这一个方程，因为它以向量的形式表示了三个方程

这些方程式是以克劳德-路易·纳维尔和乔治·斯托克斯爵士的名字命名的。

纳维尔-斯托克斯方程方程是一个微分方程，它对空间中每一点的无限小流体的速度V施加规则。结果可以解释为浸没在流体中的测试粒子的运动或流体本身的运动。

假设V的x，y，z分量分别为u，v，w。单位向量在x，y和z方向将被写成x，y和z。

如果你上过一些基础的物理或微积分课程，你可能会认识∇算子，并理解标量函数的拉普拉斯函数∇²f和向量函数的散度∇⋅F 。在纳维尔-斯托克斯方程中有两个向量微分算子，你们可能不熟悉。第一个是矢量拉普拉斯运算符∇²V，第二个是运算符 (V⋅∇)V。幸运的是，我们很容易理解这些运算符的含义。拉普拉斯向量对向量函数的每个标量分量应用拉普拉斯算子：

流体的基本物理学

变形是使一个物质体的所有组成粒子发生位移的过程。这里，我们感兴趣的是连续变形。在这种变形中，物质体不会被分离成不相交的部分。在这种变形之前，粒子之间的距离是无穷小的，在变形之后，粒子之间的距离仍然是无穷小的。

物体的变形是由表面的应力引起的，表面应力有两种类型。正应力的方向垂直于表面，剪应力的方向平行于表面。应力等于力除以面积。

流体被定义为不能抵抗剪应力的物质体。只要对某一流体体施加剪应力，该流体就会不断地变形。这就引出了流体的流行定义，即流体总是以其容器的形状存在。牛顿体是一种变形的变化率与应力成线性关系的流体。

在上面的例子中，“容器”只是一个平坦的表面，水体开始是一个立方体。由于重力，在顶部和底部存在法向应力，还有来自台面的法向力和由重力引起的侧面剪应力。流体无法抵抗剪应力，因此为了达到平衡，它将通过使其侧边尽可能小来消除剪应力。液体会在平面上散开，呈现出与它的“容器”相同的形状。表面张力最终会占主导地位，阻止液体自身无限扩散。唯一剩下的应力将是由于顶部重力和底部法向力而产生的法向应力，当流体处于平衡状态时，法向力会相互抵消。

现在让我们考虑一个面垂直于轴线的流体的立方体。应力分量Pᵢⱼ是垂直于i∊{x,y,z}面，在j∊{x,y,z}方向上的应力，如果它指向+j方向，则为正。例如，Pₓₓ是在x方向上垂直于x面上的应力。假设Pᵢⱼ在一个流体正方体的表面上是恒定的。

Pᵢⱼ可以排列成一个数组，称为应力二元数组：

因此，牛顿体的定义可以理解为，变形的变化率用并矢E表示，称为应变速率并矢，与P有关，用P=aE+bI表示，其中a和b为常数，I为单位并矢：

我们将在推导部分精确地确定E。

ρ的密度是一个无限小的流体团的质量。不可压缩流体是密度在空间和时间上都是恒定的流体。当流体速度小于流体中音速的30%时，不可压缩性是液体和气体的精确近似。由于在液体中很难达到如此高的速度，对可压缩流动的研究主要与气体有关。

流体中的声速是马赫数1

“不可压缩流体（incompressible fluid）”和“不可压缩流（incompressible flow）”这两个术语有不同的含义。不可压缩流体是不能被强迫改变其密度的流体，而不可压缩流是流体密度不变的流体。虽然所有涉及不可压缩流体的流动都是不可压缩的，在适当的条件下，不可压缩流动可以准确地描述可压缩流体的流动。这是有道理的，因为在现实中，所有的流体都是可压缩的。

粘度μ测量流体的抗变形能力。对于μ较高的流体，与μ较低的流体相比，需要更大的应力才能在相同的时间内产生相同的变形。例如，当水倒在一个表面上时，它会很快扩散，但同样体积的焦油要花很长时间才能覆盖同样的面积。

纳维尔-斯托克斯方程中的最后一项是静水压力p。根据定义，流体在封闭表面上的静水压力是该表面上法向应力的平均值。当流体压缩正方体时，流体静压被定义为正。由于正方体表面的Pᵢⱼ是恒定的，故正方体上的静水压力为：