量子力学的本质，测量和自旋的数学原理

说出来你可能不信，量子物理学并不是一个很难理解的学科。就像所有的物理理论一样，它最终只是由一系列规则和数学公式组成。量子物理学与日常经验物理学唯一的区别是，这些规则可能看起来是违反直觉的、不寻常的。这篇文章不是要教你详细的量子物理，而是要让你相信它可以被理解。

首先，我们讨论测量量子系统的状态。

测量

在经典物理学中，我们想当然地认为我们可以完全了解一个物理系统的状态。只要有可能制造出一种足够精确的尺子、温度计和秤，那么就有可能以任意高的精度知道一个系统的长度、温度或质量。我们也理所当然地认为，系统的状态是独立于我们的测量工作而存在的。如果我们测量一个房间的尺寸，我们理所当然地认为即使我们停止测量，这个房间的尺寸仍然会保持不变，如果房间的尺寸发生变化，那么这种变化将是一个可知的物理过程的结果（房子的热膨胀等），此外，即使我们不测量房间的长度和宽度，我们也理所当然地认为，在任何时候，它的长度和宽度都只有一个值。

当我们开始研究量子物理时，我们必须抛弃这些关于世界的假设。这不仅仅是因为量子系统的精确测量在实践中是不可能的，还因为量子系统状态的“精确测量”在物理上不再有意义。量子系统存在于态的叠加中，系统在同一时间处于所有可能的状态，但是每个状态都有一个概率振幅，当你测量系统时，在那个特定状态下观察系统的可能性有多大。

其中一个最好的例子就是著名的施特恩-格拉赫实验实验。

施特恩-格拉赫实验

这个实验是奥托·斯特恩和沃尔特·格拉赫在1922年做的。一束中性银原子通过一个不均匀的磁场，并观察到银原子束分成两束，其中一束向磁场方向偏转，另一个偏转方向与磁场相反。

• 斯特恩-格拉赫实验示意图。横截面如图所示。注意磁场线的坐标轴和方向。

有些原子偏转与磁场完全平行，有些偏转与磁场完全反平行，如果每个原子是一个纯磁偶极子，磁矩是μ，这就是我们所期望的行为。银原子与磁场相互作用的势能则为U=-μ·B，使作用在粒子上的力为F=∇(μ·B)。磁场在x和y方向上非常接近均匀，所以力在z方向上它的大小是：

• 磁矩的Z分量乘以磁场在Z方向的变化率。

式中，μz为原子磁矩在z方向上的分量。对于绕圆周运动的带电粒子（如电子绕原子核运动），我们从经典电磁理论中知道，磁矩有两个贡献者，第一个是与带电粒子围绕力的中心（在这种情况下是原子核）的轨道角动量相关的项：

第二个是与固有角动量相关的项，即带电粒子绕自身轴的自旋：

在第二个公式中，g是一个称为旋磁比的无因次量，其值约为2.0023。计算它是非常困难的，所以我们就不计算了。在讨论原子中的电子时，我们知道，电子既不像行星绕着太阳那样绕着原子核转，也不像小陀螺那样绕着自己的轴旋转。它们只是为了实现原子的磁相互作用，在某种意义上，如果这是真的，原子的磁矩就是我们所期望的。

选择银原子进行实验并非偶然。银的电子构型是：

原子的前46个电子都在闭合壳层中，而闭合壳层没有净角动量。此外，泡利不相容原理告诉我们，闭合壳层中的电子自旋将被抵消。这意味着，唯一能对磁矩有贡献的电子，是5s轨道上的单个电子。由于s轨道没有轨道角动量，影响银原子总磁矩的唯一因素是5s轨道上单个电子的自旋。

传统意义上，我们认为原子的磁矩是随机分布的，而银束通过磁场的结果是会在屏幕上形成一个“喷溅”，反映出原子的随机方向和大小。但相反，银束被清晰地一分为二。

上图是1922年进行的原始实验的幻灯片。银原子穿过仪器，在载玻片上形成一层银。左边的幻灯片是磁场开启前的照片。之所以没有两个完美的点，是因为银束是通过一个狭窄的矩形狭缝进行准直的，现代实验已经纠正了这一点。尽管如此，分裂（只有0.2毫米）是清晰可见的，而且在分裂的中心可以清楚地看到两束不同的银束击中了幻灯片。这表明电子的自旋只能取两个可能的值，这两个值经实验确定为：

自旋总是根据一个特定的方向来测量。通常是z方向。接下来，每当我说“向上/向下任意方向旋转”或“自旋z+/-”，我的意思是自旋的数值是+/- ħ/2。

这些结果已经足够令人震惊了，但当我们开始把斯特恩-格拉赫的仪器按顺序排列时，事情就变得更有趣了。我们先从测量两次z方向的旋转开始。

我们将1000个电子放入第一个仪器中，测量它们在z方向上的自旋，然后把自旋向上的电子送到上面的仪器，把自旋向下的电子送到下面的仪器。我们确保了样品中电子的状态是均匀分布的，因此对任何特定的自旋状态都没有净偏转。在最初的实验中，这是通过使用非常热的银原子蒸汽来完成的，高温的热效应消除了样品中任何可能的偏差。

在进行了大量的实验后，其结果直观上是我们所期望的。一半的电子自旋向上，一半自旋向下。此外，第二次测量自旋的z分量并不会改变自旋的状态，这也符合我们经典的预期。

现在我们来测量z分量和x分量。

左边的装置的效果是，准备两束电子，一束电子都自旋z+，另一束电子都自旋z-。我们发现，这对x方向的自旋分量没有任何影响。这可能看起来很可疑，但它似乎并没有立即与我们的古典直觉相冲突。

现在我们来看看测量z分量会发生什么，然后是x分量，然后再次是z分量。

当我们在测量了x分量后，沿着z方向测量自旋分量时，我们看到电子似乎“忘记”了它之前自旋z分量的值。沿着一个轴反复测量自旋并不会改变结果，但当我们试图在另一个轴上测量时，准备好的状态就被破坏了。

当这种情况发生时，我们说在z方向的自旋分量和在x方向的自旋分量是不相容的可观测值，即不可能同时知道它们的值。如果我们知道一个电子自旋为z+或z-，那么我们所能说的关于x分量的测量将以50/50的概率返回自旋为x+或x-。

我们如何将这些想法形式化呢？

量子系统

在经典力学中，一个系统是由它的广义坐标及其相关动量来表示的。例如，由一个质点沿着x轴运动所组成的系统的状态，可以由（x(t)， p(t)）完全确定，它告诉你任何时刻质点的位置和动量。

在量子力学中，一个系统由它的波函数来确定。对于连续量子系统，例如氢原子中的电子，波函数可以写成ψ(r, t)，这个波函数绝对值的平方给出了t时刻在r点找到电子的概率。对于离散系统，例如电子的自旋，我们可以用ket向量来表示波函数：

对于其他方向的自旋，我们适当地包含一个下标x或y。当自旋被测量时，我们得到了自旋上升的概率为α²，自旋下降的概率为β²。我们说∣ψ⟩是所谓的基态∣+⟩和∣-⟩的叠加。

在状态∣ψ⟩下准备的系统将被测量为状态∣φ⟩的概率为|⟨φ∣ψ⟩|²。 ⟨ψ∣被称为bra向量。bra ⟨ψ∣被称为ket∣ψ⟩的偶向量。它是通过先对∣ψ⟩的列向量表示进行转置，然后对其元素进行复共轭得到的。例如：

如果一个系统存在∣ψ⟩，那么显然它处于∣ψ⟩概率为1的状态。因此|⟨ψ∣ψ⟩|² ，从而 ψ∣ψ⟩=1。如果已知一个系统处于一种基态，那么它处于另一种基态的概率为零，因此 ，⟨+∣-⟩ = ⟨-∣+⟩ = 0。这两个合起来就构成了标准正交性。这就是上面的1/√2的由来，它被称为标准化常数，它保证了状态向量有单位大小。我们来看看它是怎么来的。给定∣ψ⟩= A(∣+⟩+ i∣-⟩)（上面列向量的ket向量形式），找到一个使∣ψ⟩被规范化的矩阵，即具有单位大小。

现在让我们做另一个例子来加深我们对方括号符号的熟悉。考虑状态∣ψ⟩ = (4/5)∣+⟩ + (3i/5)∣-⟩。沿z轴测量自旋分量的可能结果是什么？它们发生的概率是多少？

第一步通常是标准化状态向量，但你可以检查ket是否已经标准化，所以我们可以跳过这个。测量的可能结果是什么?自旋是量化的，它唯一可能的值是+ħ/2和-ħ/2。那么概率呢？我们用我们已经建立的算法。

现在，我们对数学机制有了一些基本的了解，我们现在准备回答这个问题，在斯特恩-格拉赫实验中，电子发生了什么，使它们“忘记”自旋的z分量。假设第一个斯特恩-格拉赫仪器已经准备好了一束处于自旋向上状态的电子束，因此∣ψ⟩=∣+⟩。为了找出下一个设备发现电子自旋在x方向上的概率，我们只需执行相同的算法：

向量∣+⟩可以理解为“电子的自旋在z基上是向上的”。在下一篇文章中，当我们讨论运算符时，我们将解释这是什么意思，以及如何说明：

所以我们现在可以计算电子在x方向上自旋的概率：

因为概率和为1，电子在x方向上自旋的概率也是1/2。如果在∣-⟩状态下给该仪器输入电子，结果将完全相同。因此，我们可以得出这样的结论，如果已知电子处于∣+⟩或∣-⟩状态，那么电子在x方向上自旋向上或向下的概率必须是50/50。现在假设电子刚刚离开斯特恩-格拉赫仪器，它在x方向的自旋状态被测量为自旋向上。当它通过斯特恩-格拉赫测量z分量的仪器输入时，电子仍然自旋向上的概率是多少？计算方法与上面完全相同：

这与之前的实验结果一致，粒子没有“记忆”它是自旋z+还是z-。当我们测量自旋的x分量时我们破坏了这条信息，而且没有办法恢复它。我们永远不可能知道电子自旋的完整状态，我们只能知道概率，因为知道它的任何一个状态就排除了知道其他状态的可能性。

这就是我们所说的观察量子力学系统会改变系统的一个例子。当我们讨论海森堡的不确定性原理时，也会出现类似的推理。当你对位置的认识变得越来越准确时，你对动量的认识就会变得越来越不准确。一个重要的区别是，位置和动量是连续的，而旋转是离散的。