有史以来最具革命性的思想之一——微积分，最简单的理解方法

微积分是有史以来最具革命性的思想之一。它几乎被应用于数学和科学的所有分支。与抽象数学中的其他主题不同，它是数学的一个分支，被广泛应用于许多学科中，因此更容易理解这一思想。尽管如此，大多数人还是觉得它很神秘，很难理解。在课堂上介绍微积分通常需要相当多的先决条件，这就是为什么它变得有点难开始。在这篇文章中，我们将采取一种非常直观和有点非常规的方法来从头开始理解微积分。

这篇文章是为那些总是想要学习这门学科却找不到动力和/或时间去拿一本教科书的读者准备的。一个基础很好的读者可能会发现内容不那么严谨和/或不完整，但这里的意图是使主题更“平易近人”，并最终激励读者拿起那本教科书。

为什么要微积分呢？

我们有理由问这样一个问题：我们试图解决的是什么样的问题促使我们产生了这个新想法？

这个问题的答案相当简单——微积分

一个非常精确的方法来量化变化。所以任何需要我们研究一定数量变化的问题都可以用微积分来解决。这听起来不是很令人印象深刻，因为我们已经成功地研究了各种系统中的各种变化很长一段时间了，即使当时还没有这样的方法。那么，微积分给我们带来了什么新东西呢？微积分的关键优势在于它的精确性。让我们看看这是什么意思。

变化的研究

假设有一辆汽车以每小时100公里的固定速度行驶。很明显，它在一小时内从任何选定的出发点行驶了100公里。如果我们问一个问题——当它从出发点移动了300公里时，它移动的速度有多快？答案很简单，因为汽车是匀速行驶的，在300公里的终点，它仍然以每小时100公里的速度行驶。

现在我们稍微改变一下情况。假设司机每隔一小时就把车加速5公里/小时。如果我们再问同样的问题，要想找到答案需要一点计算。让我们看看它是怎么做的

从出发点算起，汽车的速度是每小时100公里，所以第一个小时的路程是100公里。第一个小时结束时，司机将车速提高了5公里/小时。所以汽车的新速度是100 + 5 = 105公里/小时，第二小时的路程是105公里。因此，2小时结束时的总路程是100 + 105 = 205公里。第二小时结束时，司机将车速提高了5公里/小时。所以汽车的新速度是105 + 5 = 110公里/小时，第三小时的路程是110公里。因此，3小时结束时的总路程是100 + 105 + 110 = 315公里。我们看到这辆车已经超过了300公里大关，而穿越该关口时的速度为110公里/小时。这里我们看到了一种类型的问题，它要求我们理解如何处理变化的量。显然，这个例子不像整个过程中速度恒定的例子那么简单，但我们仍然可以用简单的数学方法来解决这个问题，我们不需要任何新的或高级的东西。

现在让我们稍微改变一下情况。假设司机每分钟而不是每小时加速5公里/小时。为了解决这个问题，现在我们必须在每分钟而不是每小时结束时记下所走的距离。我们可以想象，这个例子比前一个更乏味，因为它涉及到相当多的中间步骤。然而，用同样的方法我们还是可以做到的。

让我们更进一步，看看如果司机每秒钟或每毫秒增加5公里/小时的速度会发生什么？现在需要大量的计算才能得到最终的答案。中间的步骤很简单，但是要计算的步骤太多了，这就成为了一个难题。

我们可以想象，这不是一个假设的情况，因为我们知道，我们可以让汽车时刻提速。事实上，这种现象有一个名字——加速汽车。如果我们能找到一种一次性完成所有中间步骤的方法，那就太好了！

实际上，要观察计算的模式并不难，仔细一看，也许能写出这种特殊情况的公式。唯一的问题是，我们需要一个新的公式来解决每一个新类型的问题。在汽车的行驶过程中，还有很多其他的事情可以改变。甚至可能有其他需要计算变化量的系统。我们所希望的是一个通用框架。

微积分的起源

前一节中讨论的事例足以理解新方法的必要性，但它可能不是介绍所涉及的数学细节的最佳示例。一旦我们对这个主题有了更多的了解，我们就会回到这个主题。为了建立一个系统的框架，我们从一个数学上更简单的问题开始。

假设池塘里有一个小扰动，水波就产生了。从下图中可以看出，水波是圆形的，它们从扰动点向外运动。

让我们关注波浪上的任何一个圆。由于水中的扰动是向外移动的，这个圆的大小随时间不断增加。简单地说，我们假设圆的大小（半径）增加了一个固定的量，比如1cm / s。

现在我们问一个问题，圆的面积变化有多快?

为了找到答案，首先我们计算任意时刻圆的面积。然后，我们让圆在一秒内改变大小，然后再次计算面积，面积差正是我们所需要的。让我们分四步来做这道数学题

1.我们设这个圆的半径是r厘米，时间是t秒。此时面积是：

2.一秒后的时间是(t+1)秒。半径的变化速率是1cm/秒，所以1秒后的圆的半径是(r+1)厘米，1秒后的面积是：

3.面积变化量是：

4.面积变化率是用面积变化量除以时间变化量得到的

这是最后的答案。让我们来理解这个结果的意义——即使半径每秒钟增加一个固定的量，但是面积不会匀速增加，事实上，我们可以从最终结果中看到，面积的变化取决于半径。我们可以得到下面的结论

圆圈越大，它的面积增长得越快！

在我们继续之前，我们需要讨论一些非常重要的事情——我们从来没有讨论过测量半径长度和时间周期的测量设备。假设我们用一把可以测量到1厘米的尺子来测量长度。同样，为了测量时间，我们有一个时钟，它把时间测量到一秒。

你可能想知道——我们为什么要关心测量仪器？

正是这种问题引出了微积分的概念。现在，如果我们“改进”长度和时间测量设备，增加它们的分辨率，这样我们就可以把长度测量降低到0.5厘米，把时间测量降低到0.5秒，结果会怎样呢?

我们可以重复计算半秒内的变化

就像之前一样，让圆的半径是r厘米在时间t秒。此时面积是

2.半秒后的时间是(t+1/2)秒。由于半径以1cm/秒的速度变化，我们在半秒后进行观测，所以圆的半径变成(r+1/2)厘米。所以半秒后的面积是：

3、然后，面积变化为：

4.面积变化率是用面积变化率除以时间变化率得到的

在这个无聊的重复之后，我们看到与之前结果的唯一区别是，我们在最终结果中使用了“1/2”而不是“1”。

这个“1/2”的因数与半径增加的时间间隔相同，这不是巧合。对于分辨率更高的测量设备，我们可以重复整个过程，并看到最终结果中的因素将随着测量设备分辨率的增加而不断减少。所有这一切意味着，如果我们想要测量面积变化率更精确，我们必须使用分辨率更高的测量设备。

我们也可以这样解释这一说法：如果系统变化得非常快，我们就不得不选择分辨率非常高的测量设备，否则我们将无法高精度地量化变化。对于这样的系统，微积分是需要开发的。

一个简单的公式

既然我们已经建立了高精度和快速变化之间的联系，我们终于可以写出研究这些量的一般公式了。

按照上一节所发展的逻辑，让我们作一个一般性的说明-

一个量Y(如面积)相对于另一个量X(如时间)的变化是由它们各自变化的比率给出的。

为了阐明这一说法，我们编写了以下步骤：

1.Y 的初始值计为Y（i），X的初始值计为X（i）。我们可以这样做，因为X和Y是相关的，取决于考虑的系统。

2.Y的终值为Y（j），X的终值X（j）

3.表示Y的变化量为：

4.表示X的变化为：

5.然后，Y关于X的变化由这个公式给出：

现在，关键的一点是——如果我们想要以无限高的精度来计算变化，我们就必须选择能够把测量值降到几乎为零的测量设备！(这意味着我们有无限高分辨率的设备)

这听起来可能很荒谬，因为现实世界中没有任何东西可以用这种分辨率来测量任何东西。但是，纯粹和抽象的数学并不关心实际的限制，在理论上拥有这样的系统是完全可以接受的。

因此，从理论上讲，一个量相对于另一个量的微小变化可以用无限的精度来计算，当这种情况发生时，我们给它起了一个新名字——我们叫它导数，求导数的方法叫做微分。

我们在符号上也有一个微小的变化，我们把Y关于X的微小变化写成

有了重要的理解，即初始和最终度量之间的差异几乎为零，但永远不等于零，否则我们就会遇到除数为零的问题。

有了这个，我们正式进入微积分的世界!

微积分的应用

既然我们已经发明了一种新方法，就让我们用它来做点事吧。因为它很简单，我们将重新回到池塘里水波的例子，问下面的问题-，圆的面积对时间的导数是什么？我们知道我们需要求面积变化率，只是这次我们需要无限精确地计算。

让我们重复这些步骤

1.由于我们的工具有无限的精度，两次测量的时间周期将非常小。让我们称之为Δt

2.t时刻圆的面积是

3.下一个测量是在时间(t +Δt)。让我们说半径增加了少量Δr成为(r +Δr)。

4.所以，时间变化后的面积是

5.现在，面积变化率是：

我们可以把最后一个结果简化为

而且，现在我们使用的是我们面对的是无限的精度，使半径变化的事实Δr是几乎为零。从基础数学中我们知道，很小的平方会更小。这意味着，与2πrΔr相比，（Δr）的平方的值非常小，我们可以忽略它。

因此，最终的结果是

我们回忆一下，当我们讨论导数时符号的变化，结果写成

dr/dt只是半径变化率，它的值是1厘米/秒。我们可以用这个值来得到

就是这样！我们发现，对于无限精确的水波，圆的面积变化率，根据定义，也就是面积对时间的导数。我们可以比较一下到目前为止我们讨论过的三种情况的结果

1.时间间隔为1秒

2.时间间隔是1/2秒

3.我们得到的时间间隔几乎是0秒

正如所承诺的那样，最后一个基于微积分方法的结果将是最精确的，因为随后两次测量的差异可以忽略不计。结果中的0表示我们有无限高的精度。

在这篇文章中，我们基本上只讨论了一个数学应用，即圆的面积变化率。下次，我们将用微积分和更多的知识来解决超速汽车的问题。