压轴题打卡114：二次函数有关的综合问题

如图，已知抛物线y=﹣x²+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．

（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；

（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；

（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）先求得点C的坐标，然后再求得抛物线的对称轴，由点C与点D关于x=1对称可求得点D的坐标，把y=0代入抛物线的解析式可求得对应的x的值，从而可得到点A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AD的解析式即可；

（2）首先证明△EFG为等腰直角三角形，则△EFG的周长=（2+√2）EG，设E（t，﹣t²+2t+3），则G（t，t+1），然后得到EG与t的函数关系式，利用配方法可求得EG的最大值，最后依据△EFG的周长=（2+√2）EG求解即可；

（3）分为AD为平行四边形的边和AD为平行四边形的对角线时，两种情况，可先利用平行四边形的性质求得点Q的横坐标，然后将点Q的横坐标代入抛物线的解析式可求得点Q的纵坐标．

解题反思：

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质，列出EG的长与t的函数关系式是解答问题（2）的关键，利用平行四边形的性质求得点Q的横坐标是解答问题（3）的关键．