第18讲：《带Peano余项的泰勒公式的性质、展开及应用》内容小结、课件与典型例题与练习

(1) 记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项、带佩亚诺的泰勒公式和麦克劳林公式

(2) 常见初等函数的带佩亚诺余项的泰勒公式，可以借助基于等式恒等，公式展开唯一的间接法来获得相应的公式，即只要得到具有泰勒公式描述形式的表达式，不管通过什么方法得到的，都是函数相应的泰勒公式. 这也是泰勒公式的唯一性.

 

(3) 基于带佩亚诺余项泰勒公式的唯一性，函数在任一点处的带佩亚诺余项的泰勒公式可以通过其带佩亚诺余项的麦克劳林公式来获得，因此只需要讨论函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式展开即可。

 

(4) 对于计算问题，则一般使用带皮亚诺余项的麦克劳林公式，或泰勒公式，比如求函数的极限，则一般使用带皮亚诺余项的麦克劳林公式，并将极限式变量的变化过程转换为x趋于0的变化过程.

 

(5) 麦克劳林公式等式中的变量可以用任意表达式替换，只要其取值范围原等式中的变量的取值范围内即可. 同时注意，替换要全部替换，即等式两端的所有变量符号都要用相同的表达式一起替换.

(6) 关于带佩亚诺余项的相关性质要有所了解和掌握，它们是间接法求函数的带佩亚诺余项的泰勒公式的依据，并提供了相应的展开方法. 具体应用可以参见课件中的内容与相关例题与练习。其中例题与练习将在后面配套推文中给出详细参考解答.

关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视频有：

• 第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）
• 第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）
• 第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）
• 第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）
• 第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）
• 第八届、第十届：函数极限计算的一般思路与方法（5个视频片段）