第1章：降维简介：

什么是降维？

在统计学、机器学习和信息论中，降维是将n维降为k维的过程，其中k<n。

数据降维

数据可视化：

一维数据：

在这里，我们经常把维度称为特征。例如，我们用一个一维数组开始绘制数轴上的值。

二维数据：

现在，我们有一个二维数组，并开始在彼此正交的X和Y轴上绘制数据。

三维数据：

现在，我们将使用3D数组，并在X，Y和Z轴上进行绘制。

我们可以看到，随着维度的增加，对我们而言，数据的可视化变得越来越困难。

n维数据：

对于N- d数据，我们需要N个维度，无法再对其进行可视化。因此，为了可视化3D以上的任何数据，我们将使用降维技术将其降为2维或3维。

降维的本质：

在高维数据的微观层次上分析每一个维度是不可能的。我们可能需要几天或几个月的时间来进行有意义的分析，这些分析需要大量的时间、金钱和人力。训练一个高维的数据会给我们带来如下问题:

存储数据所需的空间随着维度的增加而增加。
维度越小，训练机器学习模型所需的时间就越少。
随着维度的增加，过度拟合机器学习模型的可能性也会增加。
我们无法可视化高维数据。通过降维，我们会将数据缩减为2D或3D，以实现更好的可视化。
它将删除我们数据中的所有相关特征。

降维的组成部分：

降维有两个主要的组成部分，我们将在这里详细讨论

1）特征选择：

大多数情况下，这些特征与我们的问题无关。例如，我们正在训练一个预测人身高的机器学习模型，我们拥有特征（体重，肤色，痣，婚姻状况，性别）的数据。我们可以看到肤色、痣和婚姻状况等特征与人的身高没有关系。因此，我们需要找到一种解决方案，以找到对我们的任务最有用的特征。我们可以通过以下方式实现：

业务理解、领域知识和专家解决方案可以帮助我们选择影响响应变量（目标）的预测变量（特征）。但是，如果我们找不到有用的预测变量，或者我们错过了有用的特征，它们就有可能丢失信息。
我们建立了一个经典的机器学习模型，并根据与目标变量的相关性来选择特征。与拟合度低的特征相比，拟合度高的特征更容易被选择。
减少特征也可以帮助我们解决此问题。
另一种方法是删除所有相关的特征。例如，如果我们有与其他特征(f1=2f2+3f3)的线性组合的特征，那么它们将不会向我们的数据添加任何额外的信息。因此，这些特征对我们的机器学习模型训练不再有用。

特征选择涉及到寻找原始数据的子集，使它们的信息损失最小。它有以下三种策略:

Filter策略：获取更多数据信息的策略。
Wrapper策略：根据模型的准确度选择特征
Embedded策略：根据模型预测误差，我们将决定是否保留或删除所选择的特征。

2）特征投影：

特征投影又称特征提取，是将高维空间中的数据转换为低维空间中的数据。数据转换可以是线性的，也可以是非线性的。

对于线性变换，我们应用主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）；对于非线性变换，我们应用T-SNE。

第2章：主成分分析

1、PCA介绍

PCA主要用作探索性数据分析（EDA）中的工具和用于建立预测模型的工具。它通常用于可视化群体之间的遗传距离和相关性。PCA可以通过数据协方差（或相关）矩阵的特征值分解或数据矩阵的奇异值分解来完成。

2、PCA的工作方法：

为了更好地理解PCA的原理，让我们使用2D数据。

首先我们对数据进行归一化处理，使平均值移动到原点，所有数据都在一个单位正方形中。
现在我们将试着用一条线来拟合数据。为此，我们将尝试用一条随机的线。现在我们将旋转这条直线，直到它最适合数据为止。

最终，我们得到了下面的拟合(高度拟合)，它解释了特征的最大方差。

最佳拟合线

PCA如何找到最佳拟合线的呢？

让我们从一个点开始。

为了确定直线与数据的匹配程度，PCA将数据投射到它上。

i）可以测量从数据到直线的距离，并试图找到一条最小化这些距离的直线。

ii）或者可以试着找到一条直线，使投影点到原点的距离最大化。

数学直觉：

为了理解这种技术背后的数学原理，让我们回到我们的单数据点概念。

将数据投影到线上之后，我们将得到一个直角三角形。根据毕达哥拉斯定理，我们得到A²=B²+C²。

我们可以看到B和C彼此成反比。这意味着如果B变大，则c必须变小，反之亦然。

因此PCA既可以最小化到直线的距离，也可以最大化从投影点到原点的距离。

从投影点到原点的最大距离更容易计算。因此，PCA会找到最佳拟合线，以使从投影点到原点的距离平方的总和最大。

距离平方和的最大值

pca的成本函数

注意：这里我们采用距离的平方，以便负值不会抵消正值。

现在我们得到了最佳拟合线y = mx + c。这称为PC1（主成分1）。假设比例为4：1，这意味着我们在X轴上移动4个单位，在Y轴上移动1个单位，这说明数据大部分分布在X轴上。

根据毕达哥拉斯定理，a²=b²+c²=>a²=4²+1²=> sqrt（17）=> 4.12，但是数据是按比例缩放的，因此我们将每一边除以4.12，以获得单位向量。即

F1 = 4 / 4.12 = 0.97

F2 = 1 / 4.12 = 0.242

我们刚刚计算的单位向量称为特征向量或PC1，特征的比例(0.97:0.242)称为loading scores。

SS(PC1的距离)= PC1的特征值。

sqrt(PC1的特征值)= PC1的奇异值。

现在我们对其他特征做同样的事情来得到主成分。为了投影数据，现在我们将旋转轴，使PC1与x轴平行(水平)。

旋转轴，使PC1变为水平

根据主成分投影数据

我们可以使用在PCA中计算的特征值来计算方差。

假设我们得到方差：PC1 = 0.83和PC2 = 0.17

现在，如果要将数据从2D转换为1D，我们选择feature1作为最终的1D，因为它覆盖了83％。

这就是主成分分析的工作原理，它根据主成分的方差估计需要消除的特征，从而进行降维。

3、优点和缺点：

优点：

它删除了相关特征。
提高了模型效率。
减少过度拟合。
改善可视化效果。

缺点：

PCA是一种线性算法，对于多项式或其他复杂函数来说效果不佳。我们可以找到一些如何使用核PCA来处理此类数据的方法。
在PCA之后，如果我们不选择正确的维数来消除，我们可能会丢失很多信息。
由于原始特征转换为不像原始特征那样可读的主成分，因此可解释性较低。
它保留全局形状而不是局部形状。

4、通过python代码段在MNIST数据集上进行PCA：

可以从kaggle 下载data（train.csv）（https://www.kaggle.com/c/digit-recognizer/data）

加载mnist数据

mnist图像的维度表示

作为预处理步骤，我们对数据进行标准化处理，以使平均值移至原点，并且所有数据均位于单位正方形中。

PCA有两种应用方式，一种是寻找特征向量，另一种是使用sklearn实现。在大多数情况下，这两种实现都会得到类似的结果。

方法1:

我们将得到协方差矩阵，该协方差矩阵用于求特征值和特征向量。

在将数据转换为二维之后，我们将使用这两个特征来实现数据的可视化。

利用特征向量进行主成分分析

方法:2

我们将使用sklearn的PCA实现。

PCA的Sklearn实现

通过sklearn进行主成分分析

让我们看看每个特征解释的方差百分比。

由每个特征解释的方差百分比

如果我想保留80%的数据信息，那么我可以将维度减少到110。

第3章:线性判别分析(LDA):

1、简介:

LDA是器学习和统计、模式识别中预处理步骤中最常用的降维技术。此算法的目标是将数据集投影到具有类别可分的低维空间，以避免过度拟合并降低机器计算量。

2、LDA的工作方式:

PCA和LDA都是线性约简技术，但与PCA不同的是，LDA侧重于最大化两个组的可分性。

LDA使用特征来创建一个新轴，并尝试将数据投射到一个新轴上，以最大限度地分离两个类。这就是为什么LDA是一种监督学习算法，因为它利用目标值来寻找新的轴。

PCA试图找到方差最大的成分，而LDA则试图找到新的轴

i）最大化类的可分离性

ii）最小化类之间的方差。

通过最小化方差，我们可以很好地分离各个组的聚类。与最大化组的平均值一样重要。

LDA根据最大化下列公式的准则找到新的坐标轴

LDA的成本函数

2个类以上的LDA：

在这种情况下，如果数据有2个以上的组，LDA会找出整个数据的平均值和各个组之间的中心，它试图最大化从中心平均值到各个组平均值的距离。为了更好地理解，请看以下3个类的数据。

我们可以找到一个能将这三组分开的平面。

算法：

计算数据集中不同类别的d维平均向量。
计算散点矩阵（类间和类内散点矩阵）。
计算散点矩阵的特征向量（e1，e2，…，ed）和相应的特征值（λ1，λ2，…，λd）。
通过减少特征值对特征向量进行排序，并选择特征值最大的k个特征向量以形成ad×k维矩阵W（其中每列代表一个特征向量）。
使用此d×k特征向量矩阵将样本转换到新的子空间上。Y = X×W（其中X是代表n个样本的x维矩阵，y是新子空间中变换后的n×k维样本）。

3、LDA的扩展

当分布的平均值是共享的(具有高方差的组)时，线性判别分析会失败，因为LDA不可能找到使两个类线性分离的新轴。当数据不是线性可分的时候，LDA也会失败。在这种情况下，我们可以使用非线性判别分析。

QDA：每个类都使用自己的方差估计值（如果有多个输入变量，则为协方差）。
FDA：使用输入的非线性组合（例如样条曲线）。
RDA：将正则化引入方差（实际上是协方差）的估计中，以缓和不同变量对LDA的影响。

4、在IRIS数据集上LDA的Python Sklearn实现

让我们使用IRIS数据集

像PCA一样，LDA也可以使用sklearn实现。使用LDA，我们已将数据从4维减少到2维。

为了了解PCA和LDA工作的区别，让我们看看下面的图。PCA试图使方差最大化，而LDA则试图使三个类别的可分离性最大化。

在PCA中，他们的数据有一些重叠，很难找到一条线把两组分开。LDA可以帮助我们将这三个组分开，因为他们的数据重叠较少。

第4章：T-SNE

1、T-SNE简介：

T-SNE是Laurens van der Maaten和Geoffrey Hinton(深度学习之父)开发的一种经常用于可视化的机器学习算法。它是一种非线性降维技术，非常适合在二维或三维的低维空间中嵌入高维数据进行可视化。它以二维或三维点对每个高维对象进行建模，使得相似的对象由附近的点建模，而不相似的对象则由远处的点建模。

T-SNE被广泛应用于可视化领域，包括计算机安全研究、音乐分析、癌症研究、生物信息学和生物医学信号处理。它经常被用于可视化高级表示的人工神经网络学习。

2、工作方式

在进行数学直觉之前，让我们学习T-SNE涉及的一些术语。

邻域：点的邻域定义为几何上相互接近的点的聚类。

嵌入：嵌入是通过创建xi¹将高维空间中的点投影到低维空间中的过程。

随机：

首先，T-SNE以这样的方式在几对高维对象上构建概率分布，即相似的对象被拾取的可能性很高，而相异的点被拾取的可能性非常小。这就是为什么将T-SNE称为随机（概率）的原因。

T-SNE构造了多对高维对象的概率分布，使得相似的对象被选中的概率很高，而不相似的点被选中的概率极小。这就是为什么T-SNE被称为随机(概率)。

T-SNE定义了在低维图中的点上的相似概率分布，相对于图中点的位置，它使两个分布之间的Kullback-Leibler散度（KL散度）最小化。请注意，虽然原始算法使用对象之间的欧氏距离作为其相似度度量的基础，但这应该根据需要进行更改。

T-SNE的成本函数是

3、处理拥挤问题：

拥挤是指我们在较小的空间中尝试项目点的情况，由于空间不足，所有内容都变得混乱。

T分布：

高斯分布

通过使用高斯分布，所有低相似度值都落在曲线的尾部区域，我们可以看到尾部的空间很小，不像曲线两端的T分布那么高。最终，低相似度值与不同聚类的其他低相似度值混合在一起。为了克服这个问题，传统的SNE算法被T-SNE代替，其中T表示T分布。

高斯分布与T分布

4、优点和缺点：

优点：

与PCA不同，T-SNE是一种非线性约简技术，这意味着它可以很好地处理任何多项式或非线性数据。
T-SNE能够保留局部和全局结构，而PCA则尝试将高维投影到低维，以解释数据中的大部分方差。因此，它只关心全局结构。
T-SNE被广泛用于可视化任务。

缺点：

T-SNE具有二次时间和空间复杂度。
在处理大型机器学习数据集时，不建议使用T-SNE。
T-SNE是一种非参数映射方法，这意味着它没有将给定点映射到低维空间的显式函数。T-SNE根据该点的邻域将该点嵌入到低维中。因此，当一个测试数据点出现时，由于之前没有出现，我们需要再次训练整个T-SNE算法进行嵌入，由于它的二次时间复杂度，这种方法很少被使用。

Barnes-Hut SNE (BHTSNE)

这项技术是在2014年引入的，与T-SNE非常相似，但是有一些细微的变化。该算法利用了天文学家常用的Barnes-Hut算法进行N body模拟来近似对应点间的力。

与标准T-SNE（O（N log N））相比，这些算法带来了实质性的计算优势，远优于二次时间复杂度。可以使用sklearn manifold.TSNE库轻松地实现，方法是使用method ='barnes-hut'属性。

5、通过python代码段在MNIST数据集上进行T-SNE：

我们已经看到了PCA在MNIST上的工作方式。现在，让我们尝试使用相同的数据集进行T-SNE。与PCA不同，T-SNE具有两个参数：Perplexity和n_iter。我们将尝试使用这些参数的不同值来拟合数据。