复旦童裕孙谈如何学好数学基础课
童裕孙
数学基础课是高等学校许多专业的学生必修的课程。学生在体验了初入高等学府的激动、兴奋和新奇等感受之后，很快发现高校的学习和中小学有很大差别。这一点特别表现于数学基础课。一些原本在中学里数学成绩不错的学生，一进大学，面对接踵而来的一系列概念、命题和方法，仿佛不知所措，无所适从。于是纷纷向数学老师或辅导员请教，如何才能取得数学高分？如何才能不至于“被关”？学习时也一味追求各种题型的解法，忽视了对基本概念的理解和掌握。然而效果依然不如人意。那么，我们应当如何来看待大学的数学基础课程？又该通过怎样的途径学好这些课程呢？
首先，同学们应当明确大学数学学习的目标。数学是本科学生进入科学领域的门户，也是学习后继课程并进入专业前沿的基础。长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种科学的语言和有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。如果说十八世纪前如恩格斯所说：“数学在化学中的应用是线性方程组，在生物中的应用为零”，那么现在的情况已经大为改观。从大坝内部的应力分布到心脏中血液的流动状态，从石油勘探到飞行器设计，其定性或定量的分析都要用到十分深刻的数学工具。“工程数学”、“生物数学”、“经济数学”、“管理数学”等等冠以不同名称的数学课程一个个开设出来。任何事物的属性都有量和形两个方面，既然数学研究的是数和形，它必然成为各种科学技术不可或缺的工具。事实上，每门学科在其萌芽阶段，其概念和方法往往多是质的定性的描述，少有定量的刻划。普遍认为对一门学科基本概念和方法的数学表述和运用的水平，才是衡量其成熟程度的重要标志。正如马克思所说的，一切科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。
但是，数学学习的目标是否仅仅在于获得一大堆定义、定理和计算公式，掌握各种具体的数学方法和数学技巧么？答案显然是否定的。数学教学有着知识传授和能力培养的双重意义。这是因为学生的科学素质不仅包含其整体的知识结构，而且取决于他为全面发展而必须具备的各种能力。数学基础课程不仅能帮助学生掌握有用的数学工具，而且也是培养学生理性思维的重要载体。这种理性思维的训练，包括演绎、归纳、分析和类比等能力的培养，对于学生全面的素质的提高，创新意识的启迪都是至关重要的，而且也是其他课程难以替代的。我国明代科学家徐光启对数学教育的作用早有精辟的见解，他在与意大利传教士Matteo Ricci合译《几何原本》时就写到：“此书为益，能令学理者祛其浮气，待其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”有许多当代深有造诣的科学家、事业有成的企业家在谈及大学教育对他们成长的影响时，无不强调基础教育的作用，其中不少人会特别提到数学严格的逻辑思维，严密的推理方法使他们终身受益匪浅，成为他们在各自的岗位上取得成功的重要因素。
如果以理想化的标准来衡量的话，数学课程还应当是同学们接受美感熏陶的一种途径。数学为之努力的目标：将杂乱整理为有序，将经验升华为规律，寻求各种物质运动简洁而统一的数学表述，这些都体现了数学的美，对人们的精神世界的陶冶起着潜移默化的作用。同学们在学习过程中应当自觉地发掘并体会这种数学的美，从而提高自己整体的审美素质。
其次，谈到具体的数学学习方法，让我们先看一下几位数学大师是怎样说的。
第一位是美国数学界的前辈，也是数学教育家P. Halmos。他的多部数学著作几十年来一直作为经典教材被广泛采用。其中有一本名著为《Hilbert空间问题集》，实际上是Hilbert空间上线性算子理论的入门教科书。这本书前言的第一句话就是“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics，”即学数学的最佳途径就是做数学。这本书分三部分。第一部分是Problem，共提出200个问题，包括背景，相关概念，由此可导出的结论，以及结论的推广和应用。第二部分是Hint，给出简洁的解题启示，第三部分才是Solution，列出完整的解题过程。作者希望通过这一结构，主要是利用该书的前两部分，引导读者自行建立起Hilbert空间的谱理论。多年前我校数学系在本科教学中采用过这本教材，取得了很好的教学效果。
第二位是日本数学界的前辈学者小平邦彦。他是1954年菲尔兹奖的获得者。他写过一篇研修数学体会的文章，标题是“数学中没有捷径”。这篇文章给人留下最深的印象是，他认为为了理解定理，必须弄懂证明，一时不明白，抄在笔记上反复揣摩，所谓读书百遍，其义自见。循着定理证明的步骤走一遍，不是为了确认证明的正确性，而是为了弄懂定理所叙述的数学现象的本质。在反复思考的过程中，脑子里自然会产生了些什么，明白了些什么。实际上数学科学中有一些精华也是只能意会而难以言传的，只能靠自己的思考才能体会得到。而一旦明白了定理，为了加深理解，还可尝试从多个角度来分析定理叙述的数学现象和机理，并尝试将定理应用于各类问题，包括解各种习题。至于在应用过程中，也许会逐渐淡忘了定理的证明，但是对定理的理解不会改变，也不会影响对应用这个定理的信心，甚至仍然可以把定理的作用发挥到极致，这与没有做过定理证明的感觉完全不同。
第三位是我国的数学前辈华罗庚先生。他在介绍读数学著作的经验时有一句名言：读数学书应完成“从薄到厚，从厚到薄”这两个过程。数学的概念是抽象的，数学的语言是精确的，数学的方法是严密的，它们的表现形式十分简洁，这也是一般人感到读数学著作远比读文学作品费时费力的缘故。精彩的小说往往令人爱不释手，读下去欲罢不能，几天功夫就可看完一本大部头的作品。数学书则不一样，往往一个命题的证明，第一步可能用一个定理，第二步可能作一个变换，第三步又可能采用一个技巧结合一个定理，几步连续的逻辑推理导出了最后的结论。对刚入门的学生而言，每一步都得捉摸一番。例如平面几何中，关于三角形全等就三个定理，但同学们都是在做了大量习题后才有点感觉的。大学数学基础课程的内容更多，每节课讲授的薄薄几页教材中都包含着极为丰富的数学内涵。这就需要同学们课后花费大量的时间体会概念、分析证明，并演算例题和习题。通过思考，从前到后，由上至下，把局部与整体相联系，在多个角度的分析中，将一个个概念和命题组合成一个生动而丰满的数学体。这就是“从薄到厚”的过程。但是，话还得说回来，如果每个概念和命题都衍生出一大堆东西，人脑的库容量再大也安臵不下，即使硬塞进去，也是一团乱麻，难以应用。这就需要从丰富的材料中提炼出最重要最本质的精髓，也就需要一个“从厚到薄”的过程。常常有同学埋怨高等数学中要掌握的内容太多。实际上，内容多少是一种感觉，这种感觉与理解深浅直接相关。越是学得深入，就会感到关键点越少。扎扎实实地学下去，学到后面，再回头看看前面的内容，往往会感到特别简单。能够顺利地完成认识过程“从薄到厚，从厚到薄”两个飞跃的同学，肯定会学有成效的。
最后，再想讲几点关于学习数学过程中应当注意的意见和建议。这些议论看似老生常谈，但的确是十分重要的。
第一，学习数学必须循序渐进，步步为营。数学是一门逻辑性特强的学科，每一个概念，每一个命题都是建立在前面的概念和知识的基础上，各部分联系的纽带极为严密，而且十分精巧。犹如复合函数求导法被称之为Chain rule，缺一环而整链断裂。在学习一门数学课程的过程中，自始至终不能有半点松懈，每一节课都不能随便拉下。有的同学认为翘一、两次课没有问题，谁知连翘了几次再回到教室，如同进入了一个陌生的世界，竟然会完全听不明白。一个环节的硬伤往往会影响整个学期的收效。数学课程的整体性极强，每个内容都臵身于前后内容的紧密联系之中。学习数学当然要从大处着眼，但也必须从小处着手。如果不是一步一个脚印，不但走不远，而且肯定要跌跤。
第二，学好数学必须勤于思考，不轻易放弃独立思考的机会。数学知识的形式是抽象的，并非图解式，也并不直观，停留于形式上不可能掌握其本质。只有勤于思考，从具体实例的对比中，从前后左右的联系中，才能使并不直观的东西鲜活起来。再抽象的概念，思考得多了，就会感到具体化，这就是一种认识升华后产生的新感觉。学好数学需要这种感觉，而这种感觉只有在反复思考中才会出现。例如自然数，原本是个抽象的形式符号，但是用得多了，人们早就忘了它的抽象性。任何一个数学问题，只有想透了，想彻底了，才能找到解决
方案。这里要特别强调一下独立解题的问题。独立解题不但是检验学生掌握基本概念和基本定理的有效手段，更是帮助同学深入理解数学知识，接受数学训练的重要过程。只会依样画葫芦地解某些类型的题目，难以达到大学数学教学要求的目标。如果轻易放弃了通过独立解题锻炼自己能力的机会，实在是一种难以弥补的损失。
第三，学好数学需要手脑并用。数学是一门思维的科学，相应于物理、化学和生物的实验，在学习数学时需要动手推导和演算。看数学书时需要边看边算。人难免有惰性，单纯看书，不明白或不甚明白的地方，一个马虎就从眼皮底下滑了过去。动手写一些就不一样。不明白的东西即使抄起来，也会感到别别扭扭，叫人不得不思索一番。这样也许就会弄明白其中的一番奥妙，留下一些深刻的印象。解数学题时不但要思考，更需要动手。有的同学在解题时有一点思路，似乎又没有把握，迟迟疑疑不敢下手，如此，问题始终解决不了。这时，
具体写一下，把每一个环节都算清楚，也许就走通了一条成功的解题道路。即使走不通，也可以明确问题所在，及早另谋出路。要相信路是人走出来的。千万不要相信有先知先觉的解题思路，正确的解题途径一般是碰了几次壁后才找到的。没有教训也就没有经验，算得多了，积累了经验和体会，碰壁的次数也会越来越少，动手演算也会越来越麻利。
第四，学习要有韧性，要有坚持到底的决心。许多事情的成功出现在再坚持一下的努力之中。经常有同学反映解题难，难题多。实际上每门数学课的习题一般应当是可以用近期教学的内容解决的，也不需要使用过于冷僻的技巧。问题是要舍得花时间，肯下功夫。在思考的过程中也许会发现对所学内容的欠缺之处，这时针对性地作些补充，同时也就对原本薄弱的知识点加深了印象。如果有些题目一时找不到解题途径，可以把问题放在脑子里存一下，过些时候再想，想多了，想透了，解答自然会出来。实际上，同学们学好数学的自信心，也正是在通过坚持和努力，克服了一个个困难，解出了一道道看似不易的
数学题的过程中建立起来的。愿同学们明确目标，改进方法，提高效率，在数学学习中找到乐趣，取得成功。