面积计算（三十二）

在证明勾股定理的时候，我们采用了把四个直角三角形拼起来的办法。除了这种拼法以外，我们还可以用另外一种拼法：

我们也可以用这个图来证明勾股定理，只要作适当的调整，计算出里面小正方形的边长为b-a（这里不妨设b>a），然后由小正方形面积加上四个直角三角形的面积等于大正方形面积即可。

事实上，这两种组图的方法还是解决很多和直角三角形相关的面积问题的比较常见的辅助线添加办法。像上一例中我们就用过，这次我们再来看一些例子。

例：在直角边为3和4的直角三角形各边往外作正方形，三个正方形的顶点依次为A、B、C、D、E、F，求六边形ABCDEF的面积。

这个六边形被各条线段天然地分成了七块，其中有五块的面积是很好求的：三个正方形外加两个直角三角形，难求的是两个钝角三角形。

所以第一步就先把那些好求的部分算出来：三个正方形面积分别是9,16,25，两个直角三角形的面积都是6，所以这五块加一起的面积是62。

一般说来，再难的题目也都有好啃的地方，一定要把这些能做的地方先解决掉。剩下的两个三角形，我们先来看△AFG的面积。

当然，也有家长会问，为什么不考虑做等积变换，使得某个图形的面积等于这两个三角形面积之和呢？

因为从我的角度来看，这样的思考方式不自然。看过这么多年这么多地方的中高考的数学卷子，除了极个别年份的极个别省份，一般而言，自然的常规的思路足够解决问题了。就算是那些极个别的年份和省份，整个卷子也就一个题需要用特殊的技巧才能解决。所以常规思路真的是挺好的。

因为图中你看不出有哪个图形的面积能直接等于这两个三角形的面积和，所以直接找等积变化，不自然。

单独考虑△AFG的面积，那么就只有一条路：S=dh/2。现在的问题是，挑哪条边作d？AG，FG，还是AF？

这时候有的孩子就开始纠结了，在脑海中开始飞快地思考：到底作哪条高呢？

这是非常错误的做法！正确的办法就是：有什么好想的？三条高都作出来，你的思路就来了。

我们先作AF边上的高，看着就不像能求的样子啊。。。再做FG的高，也算了吧，当我们作出AG的高FH的时候，眼前就自然一亮了。

为什么？你看这是不是就相当于我们开头时候的组图？这个边长为5的正方形可以看作由四个Rt△FGH拼起来的，而△FGH和中间的直角三角形显然是全等的。

所以，左上角的三角形的底是3，高是4，我们用同样的方法可以知道，右下角的钝角三角形的底是4，高是3，所以两块三角形的面积都是6，因此整个图形的面积为62+12=74。

本节要点：一是要熟悉四个全等的直角三角形怎么拼正方形，二是要注意提醒孩子不要空想，靠空想去判断是浪费时间，有了想法要马上落笔，这才是提高解题速度的有效途径。