直觉主义——数学概念是自主的智力活动

直觉主义的哲学思想来自康德。它特别强调人的直觉对数学概念的作用。

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布劳威尔：构造出的自然数

作为直觉主义学派的创始人和代表人物，布劳威尔提出了他对数学对象的看法。

图1 布劳威尔

数学中最基本的东西是什么呢？他认为是自然数。自然数怎么来的呢？他认为是靠人直观地理解从1开始每次加1这个过程。也就是反复领会这么一串符号：

|，||，|||，||||，|||||，…

当然，也可以是*，**，***，****，…他认为，人确实具有先天的直觉能力，能肯定这样能一个一个地把自然数构造出来。因此，数学对象是人靠智力活动构造出来的。

这样，就否定了柏拉图主义自然数是客观存在的观点。认为自然数客观存在，必然认为自然数总体是存在的。因而承认实无穷，即无穷集合。如果认为自然数是这么一个一个构造出来的，承认不承认自然数总体呢？布劳威尔认为不能考虑自然数总体。因为直觉可以想象构造出每一个确定的自然数，却不能想象构造出全体自然数的过程，因为那需要无穷的时间。

康德认为人的数学直觉分为时间与空间两方面，布劳威尔认为，时间直觉已经够了。有时间感，可以分先后次序，就可以从直观上把握自然数的产生过程。

图2 康德

02

构造性数学

直觉主义认为：数学的对象，必须能像自然数那样明显地用有限步骤构造出来，才可以认为是存在的。什么全体自然数，全体实数，统统无法考虑，因为构造不出来！因此，他们主张一种“构造性数学”。于是，直觉主义也被叫做构造主义者。

这种否定实在无穷的观点，最早可以追溯到亚里土多德。在数学家当中，康托的老师克朗南格也反对无穷集的观点。主张数学研究的对象一定要能够在有限步骤之内构造出来，构造不出来的就不存在。

比如，π= 3.14159265… ，它的每一位小数都是可以计算出来的。现在用下述办法定义一个数d：

(A)如果数列“0123456789”在π的十进小数表示式中反复出现无穷多次，就规定d=1。

(B)如果数列“0123456789'在π的十进小数表示式中不出现或只出现有穷多次，就规定d=0。

图3 π

按数学上通常的那解，这个数d是存在的。它或者是0或者是1，因为(A)、(B)必有一成立。

在直觉主义者看来，d不存在。因为没有给出个办法把d构造出来。

这样，直觉主义者就否认了逻辑上“排中律”在数学中的应用。在数学中，常常使用反证法。反证法就是应用排中律。而直觉主义就不同意使用反证法。他们主张，要证明一个命题，只能从正面证明。用反证法只证明了命题的否命题不成立，而没有证明命题成立。

这样一来，事情就闹大了。集合论，实数理论，微积分...各个数学分支的大部分基本论证都成为不合法的了。因此多数数学家都不接受直觉主义的观点。因为损失太大。

布劳威尔在自己观点指导下开始了庞大的工程。他建立了构造性的数学：构造性实数，构造性集合论，构造性微积分。在计算机出现之后，构造性数学有了大用场。因为计算机只处理可构造出来的具体符号串。

图4 计算机内部

03

直觉主义派的贡献

直觉主义派不但没使数学受到损害，反而用构造性数学使这一领域大大丰富了。

还有一个有趣的现象：直觉主义派的数学家们自己的数学实践活动并不限于构造性数学。像波雷尔，庞加莱，勒贝格这些数学大师们，尽管观点上是直觉主义的，但他们在数学上的主要贡献都是非构造性。布劳威尔在数学上最突出的贡献是“不动点定理”，这个定理的证明用的恰恰是布劳威尔所禁止使用的反证法。

我国著名数学家吴文俊教授指出，中国古代数学是构造性数学。在每一个问题中都力求给出构造性的解答。吴文俊教授还指出：由于计算机技术的发展，构造性数学在不远的将来将出现大的发展，甚至成为数学的主流。

图5 中国古代数学

但是，直觉主义的观点和工作仍没有达到否定柏拉图主义的目的。他们使数学家认识到，数学论证有可构造与不可构造之分。但又怎样使持有柏拉图主义的数学家们承认：不可构造的数学对象在客观上是不存在的呢？

来源：张景中 《数学与哲学》