2020 全国卷 3 高考试题原题重现

【点评】《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》第 44 页的变式 2,2004 复旦大学自主招生比大小,两个数都比 1 大,如何比较,和此题有相同之处,书中给出了三种解法,法二法三恰好对应着 2020 全国 3 卷理科第 12 题的法一和法二。

样题 2:(2020 全国 3 卷理科第 15 题).已知圆锥底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为________.

【点评】《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》第 292 页的变式 1,和此题完全一致,求圆锥内切球体积的最大值。

追溯:已知圆锥的高为 3 ,侧面积为 20  ,若圆锥内有一个体积为 V 的球,则 V 的最大值为________.

【点评 1】在《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》中给出 2019 年清华领军计划试题,其中是等边三角形,在 177 页和 178 页分别以抛物线和椭圆为载体给出两个变式,如何处理等腰直角三角形。

(1)求 | AB | ;

(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程.

【点评 1】此题与不等式选讲相比较,难度低很多。考试中心在评价 2017 年全国 1 卷第 22题时,如是说:在求解交点问题时,考生需要从方程的角度理解曲线的交点,即两条曲线有交点的话,它们对应的联立方程组(普通方程组、参数方程组或极坐标方程组)存在解,反之亦然。考生往往可以理解到曲线之间有交点的话,它们的普通方程存在解,但不习惯曲线的交点用其他方程组表示。考生学习了“极坐标与参数方程”后,应该发展他们关于曲线交点的更多表示方法。《解析几何的系统性突破》简而言之:学生要习惯在不同的坐标系下求解,而不是一定要化为普通方程。并给出了和此题极其类似的:

【点评 2】我们还要习惯在极坐标系下联立方程,《解析几何的系统性突破》在极坐标这一部分给出了如下两个题:

【点评】考查指对数函数模型,指对数运算和估算。《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》第 339 页倒数第 4 套 50 分钟定时练习中的第 2 题也是如此考查。

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