名言解读07 | 欣赏数学中的不变量与不变性质——张奠宙先生数学教育名言解读
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出处：张奠宙.万变不离其宗——数学欣赏：欣赏数学中的不变量与不变性质[J].高中数学教与学，2012(1)：1-3.
数学来源于生活且服务于生活，不仅自然学科以数学为基础和工具，就连人文社会科学、考古学、语言学、心理学等领域也离不开数学.早在100多年前，马克思就指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步.”这一科学论断在其后100多年的社会发展和科技进步中不断得到诠释.
大千世界变幻莫测，量变质变并存.若拨开云雾，便如俗话所说：“万变不离其宗”.在繁杂多样的变化中，往往隐藏着某种不变的规律.只有我们透过表象洞察其根本，方能于“万变”中揭示出“不变”之根本.在科学上称之为守恒，在数学上则称之为不变量(invariant).
张奠宙先生认为：“数学中到处都是变与不变的矛盾统一．万变不离其宗，数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿．寻求并欣赏数学中无处不在的不变性质，领略不变量和不变性的内在魅力，是把握数学的钥匙之一.”
此观点从哲学辨证的角度阐明了万物皆变，万物皆动的事实.静止是相对的，但变化是绝对的.而数学便是要在数量变化中寻求相对静止的因素.许多数学定理和数学运算律都是对一种不变性的描述．
从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学.20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述了某些算子的指标不变量；影响深远的陈省身示性类(Chern class)，正是刻画许多流形特征的不变量.一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开始.
1 代数中的不变性
数学课程中，最早出现的算术运算律是加法交换律a+b=b+a，这是描写加法运算的不变结果，无论怎样变化，这个等式永远不变.仅以一例就此可窥见数学中不变的性质了．事实上，在中小学数学的学习过程中，随处可见各种变化: 代数式的变形、方程的变式、函数性质的变化、图形的变换、方程与曲线的表示等诸多此类．在如此纷繁的变化中，倘若能对其中的一些变化，寻究其中的不变量和不变性质，则会撩拨纷繁表现，领悟数学纯粹之美．
1.1 数字运算的不变性
著名的回文数、缺8数、欧拉数、立方数、三角数、完全数、亲和数、水仙花数、哈雷数、卡普里加数、数字“黑洞”等数字运算的不变性令人着迷，是数学纯美的艺术，由黄金分割、斐波那契数列与分形几何等交织而成的所呈现出的不变性，让人回味无穷，叹为观止！在事实上，还存在无数类似运算不变性迷人和奇妙的数字，等着我们去邂逅，欣赏！纵使著名的“数字黑洞”所呈现出来的运算不变性让人百思不得其解，却还是让人痴迷陶醉，流连忘返，犹如天体中的黑洞，吸引众多数字在运算中坠入其中而无法逃脱.
1.2 等式、不等式、代数式的不变性
随着学习的深入，对于不同层次的不变量的重要地位也会有进一步的认知.比如小学生都知道，解有关年龄的应用题的时候，两个人的年龄差不变是个关键.抓住这一点，问题便会迎刃而解.而中学生也知道，方程两边同时加上或减去一个数或代数式，方程样子变了，但其解没有变.抓住了这一点便可以用移项的办法化简方程，求解方程.同样对等式两边同时实施四则运算，其所得结果还是等式，如对等式两边同时进行取对数、求导、积分等运算，其结果也是等式.
2 几何中的不变性
2.1 平面几何中的不变性
平面几何里，图形里的一部分，可以通过旋转、平移等变换成另一部分.在旋转、平移、反射的时候，图形上两点之间的距离是不变的.在按比例放大、缩小的时候，角度是不变的.显而易见，利用图形在变化过程中的不变性，常常可以找到巧妙的解题技巧.几何学中关于不变性的定理更多．例如，任意一对对顶角必然相等．著名的勾股定理如是说，无论什么样的直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方．更令人惊叹的是三角形重心、垂心、内心等概念的形成．两条直线(三角形的两条中线，或两条高、两条角平分线)交于一点无可厚非，到了第三条中线，或第三条高、第三条角平分线也不偏不倚地与前面两条正好交于同一点．这就太奇妙了，造物的安排竟如此之巧，敬畏之情油然而生．这种三线交于一点的不变性质，充分体现了数学图形结构之美．几何中的“蝴蝶定理”、欧拉公式、拓扑学中若当定理和不动点定理及维的不变性、反演变换中两条直线或曲线的夹角是不变的、分形几何中每一组成部分都在特征上和整体基本相似的不变性，等等，无不体现着变与不变的矛盾统一.
2.2 解析几何中的不变性
平面解析几何中，虽然各种圆锥曲线的形态千变万化，但确有不变的统一定义：平面内到一个定点的距离和它到定直线的距离之比是一个常数的点的轨迹是圆锥曲线，其中定点是它的焦点，直线是它的准线，比值是它的离心率.另外，圆锥曲线所表现出的定值、定点问题，曲线系方程、极点极线等处处都体现着不变性，而问题的解决突破口就是充分利用“不变量”和“不变性”.
2.3 立体几何中的不变性
立体几何中也有许多不变量和不变性，如球面上的点无论怎样变化，到球心的距离总保持不变.著名的涉及几何求积的祖暅原理是指：如果夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，无论几何体的形状千变万化，但截得的两个截面相等，那么必然有两个几何体体积相等这一不变性.利用祖暅原理求球的体积堪称经典.而空间求点到平面的距离常常构造四面体，利用体积相等这一不变性获解.立体几何中的折叠问题更是通过抓住不变性而获解的.事实上，许多平面几何和平面解析几何的不变性在立体几何中仍然成立.
2.4 分形几何中的不变性
1973年美籍数学家曼德勃罗特(Mandelbrot)首次提出了分形(Fractal)这个概念，曼德勃罗特一直使用fractional一词来表示他的分形思想．因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的．他将分形定义为：其组成部分与整体以某种方式相似的“形”．一棵大树上的枝杈，在形状上极其相似；一头牛身上的一个细胞中基因记录的信息与这头牛的全部生长信息自相似；一块磁铁中每一部分都像整体一样具有南北两极；罗马花椰菜的外观则是分形、黄金螺线与斐波那契数列等不变性融合后形成的完美构型.采用分形几何学知识可以深入研究那些用欧氏几何难以描述的复杂对象，如绵延万里的海岸线、跌宕起伏的山脉、参差不齐的断面、纵横交错的血管，以及变幻莫测的股价走势等.分形几何具有不变性特征：自相似性．自相似性指局部是由整体成比例缩小的性质．形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时，无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的，而从相片上无法判断所用的相机的倍数，即标度不变性或全息性．著名的分形图形谢尔宾斯基地毯、1904年瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形．Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零．它和三分康托集一样，是一个典型的分形.
3 向量中的不变性
向量是数形结合的最佳载体，它将代数与几何融为一体.向量的加(减)法、数乘、数量积等各种运算和运算律也处处体现着不变性(具体例子略).
4 函数中的不变性
研究函数变量之间的依赖关系，自然要谈变化．但是只说变，而找不到一定的规律，就事倍功半了．函数的不变性从定义中就有所体现，函数的定义中给定两个非空数集D与M，对于D中每一个确定的x，按照某种对应法则f，在M中都有唯一确定的y与之对应(变化中的不变性).为后来解释函数相等奠定基础，所谓“对应法则相同”是指“对同一个x，对应的y也是相同的”并不在乎它写成什么样的形式.不同的函数纵然千变万化，但其中总有不变性规律性，将之提炼出来，就是函数的性质．比如某些变化会随着一个量的变化而有增有减有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值，有些变化会有规律，或重复或对称出现……这些现象反映到函数中，就成了单调性、最值、周期性、奇偶性等性质．知道了函数性质，也就把握了函数变化的规律．另外，函数中的“不动点”“稳定点”等无不散发着不变量和不变性的内在魅力.
5 概率中的不变性
概率统计中，随机性和规律性是随机现象对立统一的两面，人们更容易认识到随机性，却将规律性埋没了许多.日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，被称为随机事件.例如，抛掷一枚均匀硬币，它将正面朝上或反面朝上；购买本期福利彩票是否能够中奖……这些事情结果都有不确定性.但当我们把随机的事情放在一起时，它们可能会表现出令人惊奇的规律性.例如，将同样的硬币抛掷上万次甚至几百万次，我们会发现硬币正面向上的次数非常接近总次数的一半，概率是频率的稳定值.作为概率论理论基石的大数定律以数学的形式表述了大量重复试验中随机事件的统计规律，指出了随机事件发生的频率具有稳定不变的事实.概率的不变性在生物学上的一个卓有成效的应用即奥地利人孟德尔发现了生物遗传的分离定律和自由组合定律，并由此引发了一场人类对生命认识的革命.同样，优生学的奠基人英国的高尔顿发现了呈现不变性的回归效应，人的生理结构是稳定的，则所有有机组织都趋于标准状态的.比利时统计学家凯特勒发现，人类几乎所有的精神和物理特征都呈现正态分布(不变性)：身高、体重、脑重量、智力等，所有这些特征，总是呈正态分布，正是这种不变性，正态曲线为这个纷乱的世界建立了一定的秩序和规则.
6 数学定理中的不变性
数学上比较深刻的结论，通常称为定理．所有的定理都是在满足条件的无数变化中，找到了其中不变的性质．可以说，数学定理是要说明，某些对象在一定的条件下是万变不离其宗的．代数学中有韦达定理，表明无论一元代数方程的系数怎样变化，根与系数的内在联系不变．一桥飞架南北，天堑变通途，牛顿和莱布尼兹公式发明的微积分基本定理，开启了科学的黄金时代，以前棘手的问题，现在也变得十分简单.从此任意连续函数的积分不必大动干戈，只需寻求它的原函数两端点函数值之差即可.这是何等的深刻！也从侧面反映了变化中的不变性.
7 对称中的不变性
对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的.大自然的结构是用对称语言写成的.研究各种对称中的不变量，是数学、物理研究的中心课题.对称是一个十分宽广的概念，它不仅出现在数学教材中，而且广泛存在于日常生活中.我们能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术中看到它.对称甚至成为大自然的深刻结构的一部分.数学和人类文明同步发展，“对称”是纷繁数学文化中的一颗明珠.事实上，对称，可以用“群”来表示，各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具，而对称中蕴含着变化中的不变性.对称不变性在代数式和不等式中有重要的应用.比如把二元对称式x+y与xy称为基本对称式，许多复杂的对称式都可以转化成基本对称式的组合.
8 艺术中的数学不变性
数学在音乐和绘画艺术之间存在深刻、多方面的联系，其中有诸多的不变性.我们熟知，音乐是听觉艺术、时间艺术，绘画是视觉艺术、空间艺术.而在数学中恰好有研究与时间、空间相关的学问.
音乐科学的基础表面上是物理，但实质上是数学.从乐器的制造来说，都遵循不变的梅森定律，而作曲又和黄金分割密不可分，最令人惊叹的是用数学研究音乐的音阶体系、声学理论及旋律配合法等这一系列最高成就与法国数学家傅里叶的工作分不开. 他证明了，无论是噪声还是乐音，复杂还是简单的，都可以用数学语言给以完全描述.即音乐中不变的本质即是数学上的不变性，傅里叶定理：任何一个周期函数都可以表示成正弦函数之和，而且正弦函数中各项的圆频率是其中最低一项圆频率的倍数.可见，自从有了傅里叶定理，世界上不管雷鸣、鸟啼、人语或是乐器的鸣奏，都可以归结为简单的声音组合，呈现在数学中统统都是正弦函数.人们终于认识到，世界上声音如此丰富，却又如此简单！
而绘画艺术与几何完美结合，利用透视学和立体几何原理、黄金分割成为绘画艺术的顶峰，同时从艺术中诞生了几何学的新分支——射影几何学.正如艺术大师达·芬奇所说，“任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路”，他创作的《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》《丽达》《岩间圣母》等艺术珍品都是透视学的最好典范.若认为欧式几何是研究刚体运动下保持不变的性质，射影几何则研究在射影变换下的不变性.而射影变换中突出的不变性是交比不变.笛沙格定理及其逆定理、巴斯嘉定理、布利安桑定理、对偶原理所呈现出来的不变性深刻的刻画了同一物体的相同射影和不同射影所形成的几何图形的性质.
9 结语
不变量是数学的中心概念之一，且运用广泛.简单纯粹的概念恰是世间瑰宝.正如张奠宙先生所说，世间万物都在变化之中，但只说事物在“变”，不能说明什么问题.科学的任务就是要找出“变化中不变的规律”.正如一个民族必须与时俱进，推陈出新，但是民族的传统精华不能变.京剧需要革新，但京剧的灵魂不能变.纵使古典诗词的内容千变万化，但是基本格律不变.自然科学中，能量守恒、动量守恒；化学反应中方程式的平衡，分子量的总值不能变.总之，唯有找到变化中的不变性不变量，才有科学的、美学的价值.
事实上，数学家的眼光，常常盯住的是变化中的不变的东西.正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，形成一个揭示本质的片段，帮助我们认清变化的本质，帮助我们解决各种问题.
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