韦达定理在函数交点中的妙用

例:1.如图,直线y=−√3/3.x+b(b>0),与y轴交与点A,与双曲线y=k/x(x>0)交与B,C两点,且AB.AC=4,求k的值

分析:BE⊥y轴于点E,CF⊥y轴于点F

∵y=−√3/3.x+b

易求:∠ADO=30°

∴∠ABE=∠ACF=∠ADO=30°

设:B(x₁,k/x₁),C(x₂,k/x₂)

∴BE=x₁,CF=x₂

两函数联立得:k/x=−√3/3.x+b

∴−√3/3.x²+bx−k=0

由韦达定理得:x₁.x₂=√3k,

即:BE.CF=√3k①

又∠ABE=∠ACF=30°

∴AB=2√3/3.BE,AC=2√3/3.CF②

AB.AC=4

∴2√3/3.BE×2√3/3.CF=4③

∴k=√3。

例:2.如图,直线y=−x+b(b>0),与双曲线y=k/x(x>0)交与A,B两点,连接OA,OB,AM⊥y轴,BN⊥x轴,求证:△AOM≌△BON

分析:设:A(x₁,k/x₁),B(x₂,−x₂+b)

∴AM=x₁,BN=−x₂+b,

两函数联立得:−x+b=k/x,

∴x²-bx+k=0

∴由韦达定理得:x₁+x₂=b,

∴x₁=−x₂+b

∴AM=BN

∵S△AOM=S△BON=k/2(k>0)

∴OM=ON

易证:△AOM≌△BON(SAS)

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