初中生常见计算错误实例及根源分析

这是公众号“世界重启”计划的第八篇。也是写给普娃的初中数学学习指南系列文章的第五篇。本文旨在解释初中生常见计算错误的根源。

今天看到了一篇关于初中学生常见计算错误的论文。在这篇论文中展示了给学生出的十道计算题。题目本身不是特别的复杂，但是通过这些题目的解答体现出了一些学生常见的计算错误。我觉得很有代表性，在这里分享给大家，并且对其根源进行分析，希望能够对大家有所帮助。

此题主要考察二次根式、分式的相关概念。

题中的式子是一个分式，要使其有意义，必须满足分母不为零的条件；

这个分式的分子是一个二次根式，二次根式有意义的条件为被开方数必须是非负数。

要使此式子有意义，必须同时满足上述两个条件。

典型错误 1：相关概念理解模糊，如图：

使二次根式有意义的条件为被开方数必须是非负数，即 x  2  0 ，而有将近20 名学生都写成了x  2  0。

典型错误 2：考虑不全面，忽略了分式中分母不能为零这一条件。如图：

上面两种错误，是典型的概念性错误。

学生对于二次根式有意义的条件不够清楚，对于分式中分母不能为零的限制记得不够清楚，甚至可以追溯到学生对除法的概念掌握上。

本题主要考察的知识点是解不等式组，题目涉及了整式及分式的运算。

本题的易错点在去分母时不等式左右两侧的变化、移项时符号的变化，尤其是移项时符号的变化，看似是马虎，实际上是对不等式性质的概念掌握有欠缺。

本题主要涉及一元二次方程的求解，用到了换元法和因式分解法。

典型错误 1：没有利用换元法来进行解题，直接展开变成一元二次式， 在套用公式使运算复杂，计算时出错，如图：

典型错误 2：换元之后，因式分解时计算出错，如图：

典型错误 3：解题过程不完整，如图：

这道题相对于前几题，属于略有技巧性的题目，第一种错误其实是没有掌握这种技巧，加之十字相乘法不够熟悉；第二种错误是计算错误；第三种错误，则是二次方程不会解决。

虽然都没有做出来，但体现出来的问题却是各有不同。

本小题考察学生一元二次方程根与系数的关系 ， 即韦达定理。

典型错误 1：根与系数关系记错，如图：

典型错误 2：在代入时计算错误，如图:

其实典型错误1中的解题过程反映出的问题并不是根与系数关系记错那么简单，根本是学生对根与系数关系完全不理解，包括典型错误2也是如此。

在计算错误中，概念不理解导致的错误占很大一方面。这一方面需要通过大量练习，另一方面也要从概念层面正本清源。

本题主要是解直角三角形，主要考察学生灵活选择合理的运算方法的能力。

策略 1：设BC  x, AB  2x ，然后利用勾股定理 求出 AB, BC .如图：

策略2 ：利用三角函数，得出A  30 ， 再求出AB, BC .如图

大部分学生都选择了用策略 1 来解这道题，选择策略 2 的学生在利用三角函 数值求解时，将数值所对应的角度写错，导致本题错误。这个错误倒的确是由于马虎造成的。

本题主要考察一元二次方程的求解，涉及到的知识包括：

有根的判别式和解不等式。

在做同一类型的题目时，要注意要对题目中的有效信息进行发掘，在看到有两个不相等的实数这句话时，要迅速联想到其本质是告诉我们此一元二次方 程中 0。

典型错误1：对一元二次方程的概念理解不清。只列出了   0，却忽视了 一元二次方程的二次项系数不能为 0，如图：

典型错误 2：在解不等式时计算错误，如图：

说到这里就有一些题外话，不知道大家发现没有，举的这些实例中，解题过程写的都不是特别工整，写的非常乱，这可不是一个偶然的现象。

本题主要考察实数的运算，其中涉及的概念比多，主要包括乘方运算、负指 数幂和零指数幂及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握正确的运算法则，计算时注意符号问题。

典型错误 1：如图：

解题过程中漏掉了负号，这不是简单的疏漏，而是对于解题格式的把握不到位，认为这里是-1整体的四次方，这种错误甚至在高中都有所体现。

典型错误 2：特殊角的三角函数值记忆错误，如图：

典型错误 3：指数运算计算错误，如图:

本题是一道一元二次方程的应用题，重点考察利用数学模型解决实际情境中 数学问题的能力还考察对题目中有用信息发掘的能力。此题的解题策就是找出等 量关系，列出式子解方程即可。

典型错误 1：使用求根公式求解，将求解过程复杂化，计算出错，如图：

典型错误 2：没有考虑实际情况，对结果进行检验，如图：

典型错误 3：计算出错，如图所示：

应用题的错误类型有很多，比如没有理解题意，无法列出方程或者列错方程，比如没有考虑实际情况，比如计算错误（因为应用题的数据一般都不会太好算，算起来比较麻烦一些）。

本题考察分式的化简求值，要涉及到完全平方公式的应用。分式的化简求值 是一直都是中考中的重要考点，不仅考察学生对知识点的掌握程度，还考察学生 综合解题的能力。本题较为综合，得分较低。

典型错误 1：将原式化简后，代入 x的值时，计算错误，如图：

典型错误 2：没有认真审题，将除号写成乘号，如图:

典型错误 3：结果没有化成最简形式，如图:

典型错误 4：直接将x的值代入原式，计算出错，如图:

典型错误 1：没有将题目中的有用信息进行有效利用，导致题目只能完成一 小部分，如图:

典型错误 2：解方程组时计算错误，如图:

纵观以上这十道题目中的错误，我们可以发现初中生常见的计算错误，其根源主要是以下这两个方面:

第一个是概念性的错误。

这个是老师家长学生容易忽略掉的错误，很多都被用马虎的理由给搪塞过去了。

但其实我们仔细去看的话，会发现马虎造成的计算错误和实际上因为概念不清楚出现的计算错误是有本质性的区别的。

大家通过上面这几道题目的对比就应该可以判断出来。

而且随着学生年龄的增长，真正因为马虎造成的计算错误所占的比例会越来越少。更多的是概念性的错误。

那么要想解决这个问题，就需要在一开始对于一些概念性的知识，需要老师认真的讲解，学生一定要认真的去领悟学习。

而且必须是要当天解决，最迟不要推过一周。

因为数学的学习是演进的，是在不断地向前的滚动的。很多之前学过的知识是要在后面继续使用的，就像盖房子一样，下边的房子如果打的不牢，上边就会地动山摇。

可以通过一定量的练习来巩固。这种练习可以是概念性的辨析，计算类的辨析，通过判断题的形式去进行。

方便学生发现错误。

在这里使用错题本是比较好的一种方法。

还有一种错误就是计算的错误。

计算的错误实际上更多的是心态的问题。

到了初中之后，虽然说有些学生的加减乘除四则运算还不是过于熟悉。

但是如果心平气和的话，基本上是不会出现错误的。

但是在考试中由于心态过于急躁就会放大他在基础上的一些疏漏，或者说出现一些无谓的失误。

到这里我就想举一个例子。

不知道大家有没有这样一种感觉，越是熟悉的内容，背的其实可快可慢。

反而那些只能背快，不能背慢的课文往往都是我们不太熟悉的。

考试的时候也是这样。

举这个例子是想说明什么问题呢？

当同学们的基础不扎实的时候，他在考试中不由自主的就会快速去做，试图解决问题。

而一旦快起来之后，那么不扎实的缺陷就暴露无遗了，因为在考试中除了计算还需要思考，两者混合在一起，就难免顾此失彼。

在以前的文章中我也说过这样一个问题，实际上当初中暴露出的计算问题已经不是初中的问题了，显然是在小学的时候，尤其是小学高年级，最起码是初一上学期，在相关计算的训练中做得不够到位。

同样的。如果这个问题在初中不解决，那么到高中仍然是会吃亏的。

这个问题解决的方法很普通很简单，但是也很难执行。就是大量的刷题，甚至有意识地围绕着某一个点去进行刷题。

刷题其实是一种非常有效的方法，虽然现在主流的教育观念不太赞同大量的重复的机械性的刷题。

但是我个人认为这种方法还是有其存在的必要性的。

通过刷题可以巩固概念，提高解题速度，可以在大量的练习中发现自己容易出现的错误，从而在考试中有意识地避免，同时在刷题的过程中也能对知识概念进一步的掌握。

只要能够控制住有针对性的去刷题，应该说是很有好处的。

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