会隐身的阿波罗尼斯圆

在最近学校组织的石家庄二模中，有这样一道题：

这是一道依托数学文化背景的问题，借助于三角形面积与三边长的关系，来完成。解决过程如下：

实际上，这道题依托的数学文化背景不仅仅是题目中提到的海伦公式，还隐含这阿波罗尼斯圆，这一重要的数学知识点、数学背景。说起来汗颜，小编才疏学浅，这个大名鼎鼎的阿波罗尼斯圆还是之前听我们学校一位教师听到的。

阿波罗尼斯（公元前262——前190），古希腊人。他年轻时去亚历山大城向欧几里德的后继者学习数学。阿波罗尼斯的研究广泛，贡献涉及几何学与天文学等，但他最主要的数学成就是在前人的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，他的巨著《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。

这本书是在前人们奈赫莫斯(公元前4世纪)、阿里斯泰奥斯(约公元前340)、欧几里得(约公元前330～前275)和阿基米德(公元前287～前212)等的研究基础上，加上他自己的独创成果，以全新的理论，按欧几里得《几何原本》的方式（即后来所称的“数学公理化体系”）写出。他把综合几何发展到最高水平。这一著作将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使将近20个世纪的后人在这方面没有增添多少新内容（直到17世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越)。关于这本书的难度开普勒（1571～1630）曾说：“我力荐人们去读一读阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》，他将发现有些问题是：没有哪个有才智的人，不论是多么有天分的，可以将他表述为仅凭浏览就可以明白的方式。那得需要深思熟虑，并且仔细盘想好所说的内容才行”。

在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并给它们正式命名，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成就。

我们也可以轻松证明当距离之比为不等于1的常数时，轨迹都是圆。关键的问题是，若每题都采用解析法求出圆的方程，定出圆心和半径，再作出圆，显得很费事，特别是对一些选择题或填空题，有点小题大做，能否找出阿波罗尼斯圆的简洁作法？

由以上的证明，我们还可以得到其他性质：

因为定理中含有内外等分点，新课改后不再作为高中要求，以及后面得到的结论适合于在竞赛中使用，所以，下面我用另一种方法解决阿波罗尼斯圆。

我们接着再来看最开始的题目：

我们接着看一道隐藏更深的一道题：在等腰△ABC，腰AB边上的中线长为2，则三角形面积的最大值为           。

记得最开始遇到这道题时，几乎所有学生都选择了从解三角形的角度解决这道题，解法如下：

看似过程简单，那是因为化建起来太麻烦了，所以，我简化了过程，这种方法对化简要求比较高，计算量也是相当的大，稍有不慎就会出现错误。

如果我们在审题的过程中，抓住题中AC=2AD这一条件，就应该会发现题中存在着一个阿波罗尼斯圆。我们先来研究△ACD面积的最大值。

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