重庆市第八中学高2021届月考第15题：圆的切线

重庆·云师堂

你知道的，我们是不会放弃你的。

不是难题一时爽，一直难，就一直爽么？

是，不过得看刷题的对象。

对优秀的学生，难题有种勾魂摄魄的魅力，令人血脉喷张，激情四射。越刷越觉得兴味盎然，越刷越觉得荡气回肠。可对普通学生，难题就像黑夜中的流星，一闪而过，剩下的只有漫漫长夜和孤寂的灵魂。只有基础才是永恒，才能穿越时空，才能拯救刷题迷失的自我。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

新高考砍掉“坐标系与参数方程”后，“直线与圆的方程”的重要性直线上升，而直线与圆的位置关系无疑是重中之重。

直线与圆的位置关系中，切线问题往往是命题者的最爱。它可与平面几何、三角函数、平面向量、基本不等式等结合，综合考查分析与应用能力。

本题与今年高考一卷的第11题（见操作）极为相似，显然是命题者有意为之。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

利用等面积将AB的最小值转化为PC的最小值，进而转化为点C到直线的距离，法1既简单，又容易想到，所以中档学生都应该掌握。

即便是没想到，猜也要猜特殊情况。猜错了就算了，无非是本题与你无缘，可万一猜对了不就赚了？反正不会做，赌的就是那万分之一。

设角，将长度转化为角度的三角函数，不难发现AB与PC的单调性同步（这里没有必要寻求AB与PC的关系），利用AB的最小值可求得角度，进而求得PC的最小值。剩下的与法1一致。

当然，本题通过作图可知：AB最小等价于角ACB最小，也等价于PC最小，由AB的最小值可判定四边形APBC为正方形，PC的最小值不言而喻。剩下的与法1一致。显然这种方法是高手所青睐的，几乎不动笔便轻松将5分收入囊中。

无疑，法1与法2皆是从几何的角度寻求临界值，而法3则是从代数的角度寻求关系。这里直线AB的方程亦可通过极点极线求解，也即是切点弦所在直线的方程。

值得说明的是，若将法3中的距离平方可得点P在以（0，1）为圆心，根号2为半径的圆外。同时点P又在直线上，故当直线与该圆相切时即为所求。不同的视角产生不同的解法，最终殊途同归。但这种方法了解即可，不建议在考场上发挥。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

4  操作

形同陌路，抑或一见如故