研读一题，迎接初三数学期中检测

今天要讨论的这道题是一道老题，深入挖掘后别有洞天，笔者将借此题串联初三上半学期（“相似三角形”和“锐角三角比”两章）主要知识点。

例

已知，如图，在△ABC中，AE是中线，点D在边AB上，联结CD交AE于点G，若BD=DC，AE=AC

1

找出图中的相似三角形，求出相似比

（知识点：相似三角形的判定）

/ 第一组相似/

/ 第二组相似/

注：

① 因为△ABC∽△GCE，EG:AC=1:2，

所以AG：AC=1:2

② 因为DG:AD=AD:DC=1:2

所以DG:DC=1:4,DG:GC=1:3

2

求：AD:DB的值

（知识点：平行线比例线段）

分析

可视为直线CD截△ADE，以教材为标准，采用添加平行线构造基本型的策略，笔者认为比学会添加平行线更难的是发现需要添加平行线。

本题有很多种添加平行线的方法，还可以用梅内劳斯定理或面积法，读者可自行探索。

分析

过点A做BC平行线交CD延长线于点P

因为AP:EC=AG:GE=1:1,

所以AD:DB=AP:BC=1:2.

3

联结DE,已知BC=4,S△EGC=5,

求DE的长

（知识点：相似三角形的性质）

4

若tan∠ACD=0.5,AC=10,求DG

（知识点：解直角三角形）

解法一

过点A做AH⊥GC于点H

在Rt△ACH中，tanC=1/2，AC=10

AH=2√5，HC=4√5

在Rt△AGH中，AG=5，∴ GH=√5

注意：本题是典型的两边对一角，

可能GC=GH+HC=5√5（如上图）

也可能GC=HC-GH=3√5（如上图）

∴ DG=(1/3)GC=5√5/3或√5

解法二

过点E做EH⊥AB于H

已证∠BAE=∠ACD，即它们的正切值相等

AE=10，AH=4√5，HE=2√5

”

本题图形简洁，内含丰富，其中“第二组相似三角形”的发现，面积转化，添加平行线构造基本型，解三角形，利用几何关系（相似）列方程等皆是该阶段的重点和难点，弄懂一题可以收获多多，起到减负增效的功能。