数学建模22：Voronoi图与Dirichlet自由变形

本讲导读

当我们拍了照片要修图的时候，往往需要对局部拉伸或者压缩，例如：拉长人像照片中的眼角、将嘴角调整到更加上扬、将鼻梁拉高或者将脸颊缩窄等等。这时我们希望变形后的图片依然比例协调，不会出现夸张、撕裂或者叠影。如何去设计这样的变形算法呢？数学里的Voronoi图和基于它的Dirichlet自由变形方法可以解决这个问题——Voronoi图是中学数学中常见的几何现象，我们在初中时尺规作图寻找三角形的外心，其实就是在做3个点的Voronoi图，而Dirichlet自由变形方法需要用到高中的平面向量知识以求取不规则四边形的面积。

本讲适合在讲授或学习完高中数学的平面向量、直线和圆章节后，作为数学建模材料在日常教学中讲授或学习。本讲内容包括但不限于：

1. 寻找三角形的外心与一般Voronoi图的构造；

2. 在已有Voronoi图中添加新点后的变化；

3. 局部Sibson坐标和全局Sibson坐标；

4. Dirichlet自由变形方法及其性质；

5. Dirichlet自由变形方法用于人脸表情变换。

日常生活中的数学建模系列文章：

» 01: 日常生活中的等差数列和等比数列

» 02: 二次和三次函数样条、数据的插值

» 03: 指数函数与对数函数的普适价值

» 04: 三角函数与极小曲面

» 05: 概率的加法与乘法原理、加权平均的递推

» 06: 解析几何与带标签数据的模糊线性分类

» 07: 进制观点下的分类、距离与解析

» 08: 迭代预测的测不准原理与熵距

» 09: 数据直径、荣格定理及凸集

» 10: 欧式与离散几何的桥梁——皮克定理及其应用

» 11: 暗室与艺廊——平面几何与照明

» 12: 纽结与琼斯多项式

» 13: 同余与随机数生成器

» 14: 井盖、滚木与等宽图形，圆与勒洛三角形

» 15: 超轻超硬材料与星形线

» 16: 连分式、计算的自动修正和超越数

» 17: 黑暗森林法则与社会契约

» 18: 太空牵引飞船的行驶守则

» 19: 弓形面积计算的几何方法与“弦切定比”曲线

» 20: 直方图均衡化与图片去霾

» 21: 曲线的受控形变、贝塞尔曲线与贝塞尔变换