最速降线问题
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[遇见数学]根据视频内容整理文字版, 方便各位同学学习, 先来看下视频吧.
文中涉及到的那些数学巨匠
正文这个视频中，我要讲点不同的东西。我有机会与 Steven Strogatz 坐谈，并录下了一段对话。若你不知道，Steve是来自康奈尔大学的一位数学家, 他著有几本热门的数学书，也经常往 RadioLab 和《纽约时报》发表文章。简言之，他是一位当代伟大的大众数学传播者。
在对话中，我们探讨了许多事情，但全都围绕这个数学史上非常著名的问题 ：最速降线 Brachistochrone。
视频前面约三分之二，我就播放这段对话的一部分。我们定义这个问题，谈论它的一些历史，经历一遍17世纪的约翰.伯努利提出的解法。之后，我呈现Steve展示给我的来自当代数学家Mark Levi的这项证明，它将几何见解赋予给约翰.伯努利原来的解法。最后，我给你一个小挑战。
第1节：约翰.伯努力的洞察力
我们真的应该...从定义问题本身开始。Steve：嗯，好，让我试着讲，对吧？3b1b：好，开始吧。Steve：好的，那么，这还真是个复杂的词。首先，最速降线，来自两个单词...天啊，我得查一下。我觉得是拉丁语词汇还是希腊语词汇？3b1b：我很确定是希腊语。Steve：好，它是"最短时间"的希腊语，指的是伯努利兄弟中的约翰.伯努利提出的一个问题。
想象一个滑坡，有一个粒子在重力牵引下顺着滑道滑下，连接两点的滑道应该是什么路径，才能让粒子从A点到B点所需时间最短的滑坡是哪条？
3b1b：我觉得这个问题我最喜欢的地方, 就是要去求解的问题比较容易定性地描述出来. 比如，你要滑坡轨迹短些，比如像条直线，但是你又要物体快速动起来，这就要求开始时候陡峭些，但轨迹就会增长。
不过要将问题定量化，确实给出具体的曲线来取得平衡. 这就不容易了，所以说，这就构成了一个非常有趣的问题 。
Steve：的确，它是非常有趣的 。我指，当大多数人最初听到它时，都会以为最短的路径能得到最短的时间，就认定直线是最优的。但是，如你所说，一开始快速滚下, 冲劲更大, 可能会占有优势，也不一定是滚动，可以想象成快速滑动，其实怎么说也无所谓。
早在伽利略自己就思考过这些问题，是在1638年，要比约翰.伯努利早得多。伽利略认为圆弧是最佳的。这说明他已经想到了弯曲一点会更好。
3b1b：然而实际上，圆弧不是正确答案。圆弧不错，但是有更佳的解决方案。真正正确答案的历史要追溯至约翰.伯努把这个问题当做一项挑战提出来。
Steve：就是说，1696年6月。他把问题以挑战的形式提了出来，是要挑战当时整个数学界。对于他，数学界指的是欧洲的数学家，而他特别很想炫耀他比他的哥哥(雅各布.伯努利)更聪明。他有个长兄叫雅各布，他俩是死对手又都是大数学家。但是，约翰.伯努利幻想自己是他年代最伟大的数学家。不只是比他的长兄聪明，我觉得他认为自己可能比当时还在世的莱布尼兹，以及当时的艾萨克.牛顿. 因为当时牛顿已经年级较大, 或多或少已经退休、不研究数学了。当时牛顿曾任铸币局总监(有点类似今日的财政部长)。
3b1b：然后牛顿给他颜色瞧了，对吧？牛顿在忙了一天的工作知乎, 只花了将近一夜的时间就把问题给解决了. 虽然约翰.伯努利花了两个星期才解了出来。Steven：对，有个不错的典故说，牛顿获知了题目，他不太乐意被人挑战, 而且还是他觉得比不上他的人. 当然，牛顿大神基本认定所有人都比不上他下。但是牛顿通宵解决了问题，并将解法匿名地寄至当时的顶级期刊《自然科学会报》，并被匿名发表了。
牛顿便写信向他朋友抱怨道：我不喜欢被外国人因为数学上的事情催促和戏弄。所以牛顿并不喜欢这个挑战，却解了出来。(这说明牛顿数学能力实在太NB了!)
有个著名的传说，约翰.伯努利看到这匿名的解法后，感叹道："我见利爪认出了这头雄狮。"不知此事是否当真，但这是个好故事，大家都愿讲。
我猜测约翰之所以特别渴望挑战其他诸如牛顿的数学家, 那是因为他暗自认为自己的解法异常巧妙(借用了物理的公式来解决此问题)。
也许我们该看看他到底怎么解的。他联想到，解决这个问题要借助光。因为，在16世纪初，费马就表明了光的传播方式，无论是在镜子上反射, 还是从空气折射进入水中并发生弯曲、或者通过一个透镜，光的所有这些运动都可以这样来理解, 就是说光会经过从A点到B点所需时间最短的路径。
细想起来，这确实是个很棒的视角，因为通常总是很局部地考试粒子在各个点上的情况. 而这观点退了一步，看看所有可能的路径并宣称："大自然会选择最好的一条。"
是的，非常优美。如你所说，是非常敬佩的思想转变。对有些人，这转变真的蒙有宗教色彩：大自然被赋予了这种性质，总是做效率最高的事情。
但抛开那些，也可以只说这是个经验事实, 光的传播本身就是这样. 约翰.伯努利的主意是利用费马的最短时间原理，假装不是一个粒子顺着滑道滑下，而是光在不同光折射率的介质中传播. 也就是光以不同的速度渐渐通过滑道往下滑动.
我认为我们在深入谈论这些之前，应该聊聊斯涅尔定律（Snell's law 折射定律）。这条物理学结论描述光从一种材料进入另一种材料时是如何弯折的: 当一束光从一个介质进入另一个介质时，考虑光线和两种材料介质平面的垂线所成的夹角.
该角的正弦值除以光速的结果, 在从一个介质进入下一个介质前后保持不变。
约翰.伯努利所做的就是找了一种巧妙的方式利用这个含有 sin θvsin θv 保持不变的事实，用于解决最速降线问题。
当他在思考滑坡上滑下的粒子发生了什么之时，他留意到，根据能量守恒，粒子的速度正比于离顶端的距离的平方根。
稍说细一点，就是势能减少量 = 质量 * 重力加速度 * 再乘以到顶端距离 y。然后令其等于动能 ½ 乘以 mv.b2 并移项整理一下, 最终发现速率 v 确实正比于 √yy。
这就启发他想象一种具有许多不同层的玻璃，光在其中的每一层都具有不同的光速。第一层的光速是 v₁，下一层是v₂，再下一层是v₃，这些都将正比于 y₁、y₂、y₃的平方根。
那么原理上讲，你应当想到一个极限过程，就是你有无穷多个无限地簿的玻璃层，这样光速就相当于有着连续的变化。
然后他的问题就是：如果光在逐一经过每层介质时候, 始终遵循斯涅尔定律，以致于从一层到下一层时 sin θ vsin θv 始终是个常数。那么会是什么轨迹？
使得这些切线每个瞬间都遵循着斯涅尔定律。
此言一出，我们应该精确地陈述这条属性。约翰.伯努利得出的结论，看这条令滑过时间最短的曲线, 不管它是什么, 在上面取任何一点, 该点处的切线跟铅垂线(垂直方向)的夹角的正弦值除以该点到曲线起点的垂直距离的平方根会得到一个常数, 记住无论取的是哪个点.
约翰.伯努利最初发觉它时, 就认出这就是摆线(旋轮线)的微分方程。摆线是滚轮边缘上的点所描绘的形状。
但这并不直白，至少我不觉得显而易见，为什么这个 sin θ vsin θv 的性质和滚动的轮子有关系？确实一点都不直白，但是这次，Mark Levi的智慧来帮助我们了。
Mark Levi是在宾夕法尼亚州立大学的厉害的数学家，著有一本《Mathematical Mechanic》，利用力学原理，以及更广阔的物理学解决各种各样的数学问题。比起数学服务于科学，它算是科学服务于数学。
他聪慧的一个例子是最近发表了一个很短的短篇笔记，表明了当研究摆线的几何形状时，只需在恰当的地方画上正确的辅助线，就能看出这个速度除以 sin θ 是常数的这个原理，是摆线的运动本身固有的.
第2节：Mark Levi的洞察力，及一个挑战
在刚才会话中，我们并没有谈论证明的细节本身, 因为不利用可视化的演示，就很难解释清楚。但我觉得你们当中许多人更喜欢看数学图形，而不是听人聊数学。
这个几何的证明既优美但短小, 所以我在此就将它展示出来了。想象一个轮子，在天花板上滚动。想象轮子边缘上有一个点P。
Mark Levi 的第一个洞见是将轮子与天花板相接触的点，取名为点C，作为是P点轨迹的瞬时旋转中心。相当于在那瞬间，P位于端点为C的单摆的末端。
因为圆的任意切线总垂直于半径，摆线上P点处的切线垂直于直线PC, 这样我们获得了圆内的一个直角。并且我们知道: 圆的任意内接直角三角形的斜边一定是圆的直径，所以可以推论出, 切线必定经过圆最底下那点.
那么，设 θ 记作切线和垂直方向的夹角, 我们得到一对相似三角形，如下图所示。
你能发现线段PC的长度 = 直径 * sin θ . 在第2个相似的三角形中，这个长度再乘上sin θ，给出P点和天花板间的距离, 这个距离是我们先前叫做 y 的那个量. 移项整理这个式子，发现sin θ√ysin θy等于1 除以直径的平方根。
因为圆的直径肯定在旋转过程中保持不变，这意味着sin θ√ysin θy 在摆线上是常数, 这恰好是我们所寻找的斯涅尔定律的性质。
那么，约翰.伯努利的洞察力和这个短小的几何证明结合起来，得到我jiu 所见过最速降线最巧妙的解法。
在这里可以告一段落的，但是既然这整个问题的历史源于约翰.伯努利发起的挑战，我想要以我自己发布的挑战作为结束。我玩弄摆线时，有件有趣的事突显了出来。
考虑一个由于重力沿摆线滑下的物体, 把它在曲线上的位置看成随时间变化的函数, 再考虑这曲线的定义, 滚轮边缘上一点的轨迹的。如何调整轮子的转动速度，才能使得使物体开始下滑后，轮子边缘上的标记点总是与下滑物体保持相对静止？(固定在那个滑落的物体上)
你会先慢着转动，再增快转速？如果是的话，应该是按什么函数变化呢？
事实证明，轮子应该会以均速转动,. 这是令人惊讶的, 这意味着受重力的物体做摆线运动的效果，恰好和均速滚轮是完全一致的。
挑战的热身环节就是：你来自己证明刚才这点, 用方程一点一点地证明出来的过程是有点意思的。
但这让又我想到：如果我们回顾原先的最速降线问题，寻找两点间的最速下降轨迹，或许有一种精巧方法来重构我们的思路。
不再用 x 和 y 轴坐标来描述下滑物体轨迹，而是用速度向量的角度随时间的函数来描述它会如何？
想象这样定义一个曲线：一个物体下滑时，通过转动一个旋钮来决定物体在重力拉动下每时刻下滑的夹角。只要能将旋钮角度随时间的变化描述为关于时间的函数，你其实就唯一描述了一条曲线。这本质上就在利用微分方程，因为已知斜率是另外一个参数的函数，在此是时间的函数。
有趣的是，当你不通过 x-y 平面解决最速降线问题，而是通过 t-θ 平面，其中 t 是时间，θ 是轨迹的角度，那么所有最速降线的解都是直线。是说，θ 关于 t 是以均速增加。
当一个曲线最小化问题的解是直线时，就强烈暗示着, 存在某种方式可以将问题看成一个最短路径问题. 这里并不很直观, 因为 x-y 空间里，物体始于 A 点而终于 B 点的边界条件，看起来不像能从 t-θ 空间内的一点移动到另一点。
尽管如此，我对你发出这样的挑战：
你能通过以下方法找到最速降线问题的另一种解法吗? 解释为什么时间最小化路径被表示在 t-θ 空间里时，一定看上去像一条直线。你能通过给出时间最小化路径在t-θ空间中之所以像一条直线的直观原因，找到最速降线问题的新解法吗？
[遇见数学] 下期预告
9 月 4 日
《博士热爱的算式》II-文脉数学17
"沉重的书本让我的手麻痹了，我甩了甩手，重新翻开书本，脑海里想着这位十八世纪最伟大的数学家，雷奥哈德尔‧欧拉。我虽然对他一无所知，但手拿这个公式，我觉得自己可以感受到他的体温。欧拉用了这个极不自然的概念，编织出一个公式。他从这些看似毫无关系的数字中，发现了彼此之间自然的关联。"
- 《博士热爱的算式》
「予人玫瑰, 手留余香」
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