几何和代数是怎么走到一起的?

作者:南希

本文来自少年时36《数学在西方》中的《当几何与代数结伴而行》一文,

当欧氏几何走到了头

17 世纪早期,尽管科学在各个领域有了重大突破,但是数学还只有一个几何体系,就是根据古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》创立的经典平面几何体系。这个体系仅适用于由直线和圆组成的图形。这时候的代数,不过是几何的附属品。

然而,随着人们对科学的不断深入探索,许多新的奇形怪状的图形相继出现,这些都没有办法通过欧氏几何理论进行分析。比如,为了描述天体运行的轨道,天文学家绘制了椭圆、双曲线、抛物线,其中抛物线也很好地勾勒出炮弹出膛后的运动轨迹;在海上航行时人们常常借助月亮来判定方位,因此人们迫切需要了解月球的运行轨迹和规律;望远镜和显微镜的发明,使透镜走进了人们的视野,但是人们对透镜的性质和参数却完全没有概念,比如说透镜表面应该是做成什么样,才能有最好的光线会聚性能?

要解决这些问题,需要了解曲线的概念和定量分析方法。但是欧几里得没有提出任何有关曲线问题的解决方法,古希腊人在圆锥曲线(平面与圆锥体相交得到的曲线)方面留下的著述也非常少。没有可以参考的方法,这是当时的数学家所面临的困境,数学方法的落后甚至妨碍到了整个科学的发展。

这时,有一位法国数学家率先站了出来,明确地表示了对欧氏几何那套方法的强烈不满。欧几里得的《几何原本》里提到的每一个问题,证明过程都需要一个新颖、奇巧的方法,不但过于抽象,而且多依赖于图形,甚至需要解题者具有非凡的想象力。古希腊数学家虽然在研究数学问题上花费了大量的时间,却从不考虑它们的实际应用问题。他直接抨击欧氏几何“成了一门充满混乱和晦涩、有意用来阻碍思想的记忆,而不是一门有益于思想发展的艺术”。

这位数学家,就勒内· 笛卡尔(René Descartes)。

1637 年,他发表了著作《方法论》。在一篇叫作《几何学》的附录中,他提出了一种不依赖于图形也更为普遍的方法,这就是将代数应用于几何,把几何和代数中的精华部分结合起来,互相以长补短,我们称之为“解析几何”。

数学的“魔钥匙”

1596 年,笛卡尔出生于法国拉艾的一个中产阶级家庭。8 岁那年,他数学产生了兴趣,在接受了 10 年的正规学校教育之后,他决心通过直接的身体验来更好地了解世界。他到巴黎体会了浮华的生活,又回到了拉艾进行了一段时期的沉思。后来,他时而随军参战,时而四处旅行,时而在巴黎醉生梦死。最后,他决心安定下来。在接下的 20 年里,他大部分的时间和精力都用来著述。

在笛卡尔活跃的一生中,他其实一直在思考,“我们怎么理解事物,如何才能获得真理?”尽管真理不会自己产生,但是对笛卡尔来说似乎有些例外。至少他自己是这样说的,他的灵感来源于一个梦境。

1619 年 11 月 10 日,在庆祝圣马丁节的盛宴上狂饮之后,笛卡尔做了一个生动的梦。据笛卡尔所说,“在梦中他正用不带迷信的科学眼光,观察着凶猛的风暴,他发现一旦他看出风暴是怎么回事儿,它就不能伤害他了。”这个梦境仿佛向他展示了一把“魔钥匙”,这把钥匙能打开大自然的宝库,并使他掌握所有科学的真正基础。尽管,笛卡尔并没有明确说明这把神奇的钥匙是什么,不过人们通常认为这就是把代数应用于几何的方法,就是解析几何。

他认为,代数可以很好地弥补几何在抽象方面的不足,因为代数可以直接用抽象的符号和数字进行推理,而且代数还可以把推理过程变得程式化,从而让每一个人在面对数学问题时,不必因为想象力的限制而裹足不前。

于是,一种新的数学方法应运而生,这就是现在众所周知的解析几何,也是现代应用数学的基础。

人们把 1619 年 11 月 10 日当成解析几何诞生的日子,也是现代数学的诞生日。解析几何理论就像一道光一样,将蒙在数学家眼前的黑暗渐渐驱散,迎来了数学界的崭新的黎明。

公式和图形牵手

解析几何因为它的简单而格外引人注目。就像数学中所有真正伟大的东西一样,解析几何的基本概念简单到近乎一目了然的地步。这个基本概念就是坐标系。

几何中最简单的图形是直线,直线很容易理解,也很容易描述,笛卡尔就想办法用直线来表示曲线。在平面上放置两条相互垂直的直线,以相交的位置作为原点,指定这两条直线的方向,画上刻度,就建立起了笛卡尔平面直角坐标系。对于坐标系内的某一个点,我们可以用一对数字来表示(x,y),用正负号表示它具体位于原点的哪一侧,x 和y 分别表示它在两个方向上离开原点的距离。这对数字,我们称为“坐标”。

比如,一座城市的地图上,大道从南到北按数字分成 1 大道、2 大道、3道……街由东向西按数字分成 1 街、2街、3 街……我们可以把大道和街建成一个坐标系,任何建筑都可以按照靠近哪个大街—大道交口来定位。比如纽约图书馆的位置位于:5 大道和 41 街的交口。

通过构建坐标系,几何图形或者说曲线上的任何点,都可以用两个数来表达了。原本复杂的几何问题就转化成了能用公式和数字来表达的代数问题,接下来需要做的就是按照代数方法来计算。我们来看一个典型的例子。

勾股定理说直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果我们把这个直角三角形放到坐标系里,让一个锐角顶点位于原点,锐角相邻的直角边与x 轴重合。

我们把三角形的斜边长设为R,两直角边分别为 x 和 y,那么对应于 R,我们可以画出不同的x、 y 组成的很多个三角形,它们都满足关系式:

x2+ y2 = R2,

当我们把这些三角形的另一个锐角的顶点连起来时,就得到了一个圆,而这个圆的半径就是 R。

于是,我们就在代数方程和几何图形之间建立起了联系。这就是笛卡尔建立的解析几何体系,按照这种思想,任何几何曲线都可以通过建立坐标系用一个方程来表示。反过来,对于一个已有的方程,数学家也可以在坐标系内画出它的样子,一根曲线、一个曲面,或者是一个球面,从而进一步研究它的性质。比如:

y = x2,

通过在坐标系里描点、连线,我们可以得到这个方程对应的曲线,这是一根抛物线。抛物线在科学、技术、工程等领域中广泛出现。

2 000 多年前,古希腊数学家在研究圆锥曲线时已经发现了抛物线,但只有到了解析几何,才能对抛物线进行有实用价值的定量研究。

更重要的是,笛卡尔的解析几何并不限于平面几何,而是同样适用于三维甚至多维空间。在三维空间内,我们可以在平面坐标轴的垂直方向上增加一条“z”轴,并用 3 组数(x,y,z)来代表空间内的每一个点。比如,我们在绘制三维城市地图时,只需在考虑建筑物位于大道和大街的位置之余,增加一个表示建筑物高度的参数。

在坐标系上建筑现代数学

为了构建一种更好的数学方法,笛卡尔把方程和曲线结合了起来,也把代数和几何合二为一,让代数不再附庸于几何。坐标系的应用不仅把几何上已有的曲线转化成了方程,也通过构建方程定义了一些复杂的曲线,大大简化了复杂曲线的分析过程。虽然曲线千变万化,构建方程的方法却始终如一。

在建立了坐标系后,平面上的一曲线可以通过两个变量的函数方程来表示,这不仅把代数和几何联系起来,而且还把变量、函数等重要概念密切联系了起来,由此也对牛顿的研究有了一定的启发。在牛顿发表的《流数法与无穷级数》中,采用了很多解析几何的方法,而牛顿的流数法正是我们现在所说的微积分。

尽管笛卡尔的解析几何主要解决的是圆锥曲线的问题,但在他的理论基础上,17、18 世纪的科学家还引入了一些其他的新坐标系,解决了一些更为复杂的曲线问题。在那个科技文明大发展的时代,解析几何的思想解决了天文学、力学和技术中的许多实际问题。笛卡尔的工作大大提高了数学在科学研究中的地位,也向全世界证明了数学在探索真理过程中发挥的作用和力量。解析几何的提出,是一个时代结束的标志,为日后微积分的出现奠定了坚实的基础,而后者又是现代数学的基石。

本文摘自《少年时》系列科普丛书

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