何新：再谈关于“〇”的概念
【何新读书杂记】
1
汉字很早就有零这个文字，但是此字却并不具有数字意义。
《说文》：“零，徐雨也。”零的意思是“零星、零散”的小雨，所谓“小雨其零”，缓缓落下。
零字本义无数字之意义。故清代《康熙字典》解释零字多义，唯独没有叙述零为数的意义。
零作数字其实是一个借字而已。零的数字意义出现很晚。
最早见于字书者，是明代梅膺祚的《字汇》：“畸零，凡数之零馀也。”也就是说，整数之余数，零散者谓之零，仍然并非具有无数或者空数的意义。
2
“零”字开始作为汉字中的数字观念，可能只是零头、零余的意思。
零作为数字〇，而取得完整的数学语义，应当是非常晚近的事情。那些断言“0”是中国人发明的数字观念的人，多数人似乎忽视了“〇”这个数字具有非常复杂的涵义。
零，作为自然数中的一个特殊数字，有多种意义，略举要概言之：
1.放在两个数量中间，表示单位较高的量之下附有单位较低的量：如一年零三天。八元零二分。
2.数码空位，在数码中多作“0”：三0一号。二000年。
3.表示没有数量：一减一等于0。这种药的效力等于0。
4.量度的计算起点：0点。0以下10度。
这些意义实际是在数学语用的演化中逐渐取得的，并非任何人能够一次性发明或者赋予的。
似乎也是由于零概念的复杂性，在数论中，〇的概念是难以定义的。甚至〇是不是数字以至自然数也是存在争议的。
而〇作为一个数码空位处的数学符号，在中国数学中意义明确地出现，是在唐代的《开元占经》的九执历中。引入这个概念的是一位来自印度河地区的西域僧人瞿昙悉达。九执历以“、”点的符号表示〇的数位（前述意义之二）。
在此之后，宋代蔡沈《律率新书》中用方格表示数位空缺。
金朝《大明历》中出现“四百〇三”，“三百〇九”等数字。
南宋秦九韶的《数学九章》中也出现〇的符号。
但是，这个时期的数字〇虽已应用，但是零的数学意义仍然是不完全的。
3
对于习惯于自然数系统的人来说，零的概念似乎是自然和当然的，含义似乎是自明的。不使用〇为起点计数似乎是不可想象的。
但是实际上，虽然〇是一个极重要的数学概念，但是可能没有任何数字比它具有的涵义更复杂深奥而富有哲理。
（我个人私见认为，〇并非数字，而仅仅是一个逻辑的概念。）
概言之，在数学中，数字〇的涵义大约如下：
在数学中，〇单独出现时，代表没有具体数字。
〇放在数字和小数点之前，则表示小数和整数的分界限。
在记数表示中，〇表示空位。
整数后面添上一个〇，则数字代表运算结果为原数的10倍。
〇在数轴中，分别表示数的阴阳界：正数和负数。
〇也是数轴上一个作为起点的标志数，例如温度有0摄氏度、海拔有0米、记账有0元，都以0为起点。但并不是所有的计数系统都必须以〇为起点，例如公元纪年以1为起点。
2进制以1为起点，10为终点。并且，在2进制系统中，0的出现不代表数字意义，而仅仅是占位，位级的符号。
最重要的一点，〇的数字意义并不是“无”，不是没有数量，而只是具体数量的空缺。即当0作为0存在的时候，抽象意义的数量之幽灵仍然存在。
在绝对空无中，是不存在任何数、任何计数的。
〇在很多时候都是代表着一种数量的分界。就像摄氏零度不代表没有气温，而是代表零上的温度和零下温度的界限。即使达到绝对零度也不是没有气温，作为零下273.16度所谓绝对零度，只是代表目前所知物理元素的一个最低凝结点而已。
4
有人认为零概念起源于空位观念〇。其实此论不对，空位〇，并不是真正意义的数字零的概念。
空位观念起源于进位法和位值制，可能起源于中国的筹算。
如下这个数字为例，自右而左，以数位表示数量的位级：
万 千 百 十 个
1 （）（）（）（）
空位（）括弧，表示虽然没有数字，但仍然存在数的位级。这种占空位的数级观念，只是0这个数字的复杂涵义中的一种，远不是零概念的全部。换句话说，祘筹空筹码的空位，并不能完整表示〇的概念。
例如数字600，可以表示为祘筹的：〦（）（）
虽然空位（）表示无数有位，可以表达表示数字零的一种意思，但是这空位无，并不是数字零的真正符号，更不能代表零的明确概念。
5
古代的数学书《九章算术》说：
“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
以上文字里的“无入”，被有的数史家解释是“无”即〇的概念。这是错误的。事实上，在古本《九章算术》中，无入原词是无人。被后来的注释家解释为“无入”。这个概念的本来涵义是模糊的，汉代数学家刘徽给与了解释，以现代语言表述即：
如果定义：这里的“名”就是“正负号”，“除”就是“相减”，“相益”就是“相加”、“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无入”就是减数等于或者大于被减数。
用现在的话说就是：
“正负数加减的法则是：
同符号两数相减，等于其绝对值相减。异号两数相减，等于其绝对值相加。
减数大于被减数（包括被减数为〇），即得负数。此即“正无入（或无人）则负之”。
加法法则是：
异号两数相加，等于其绝对值相减。同号两数相加，等于其绝对值相加。
正数（包括〇）加正数，等于正数——正无入，正之
负数（包括〇）加负数，等于负数。即负无入，负之。
所以，无入的意思是正负数无对，或无可对消。
九章所说的“无入”，是考虑了正负数与0相加减的两种情况，但是并没有以无的概念来表述〇。
以字母表述无入，即：a≥0以及a≤0的两种情况。
【结论】
总之，我认为无论早期筹算或者《九章算术》都并没有使用符号来表示零。
筹算数码中的空位是〇的意义之一，但非全部。《九章算术》中的余入（或者余人）概念更非确定代表数字〇。
零的复杂多种数学涵义及语用意义，是晚近在近代数学的语用关系中演化而形成的。在中国数学的数字系统中，数字〇出现和应用可能始于唐宋，而取得更复杂的〇概念的语义，则更为晚近。
【附记：对于数学及数学史我只粗知而已，未做过精细研究。此仅略陈平日研思之拙见，或可聊备一说而已。】