“数学画”案例分享 || 以“数学画”视角赏析徐斌“解决问题的策略-画图”一课

注：本文写于2018年暑期，收入《“数学画”教学行与思》一书。

近日听著名特级教师徐斌经典课“解决问题的策略-画图”，不自觉地想到“数学画”教学的理念和做法，以此赏析一二。

一、直观想象作铺垫：引儿童学数学

【教学片段】

师：我们一起来画一个长方形。  

（教师在黑板上画，学生在随堂本上画长方形）

师：知道长方形的面积和宽，怎样求长？要求宽，需要知道什么？ 

（板书：长×宽＝长方形的面积  面积÷长＝宽  面积÷宽＝长）

师：刚才我们画的是一个面积确定的长方形。如果要使长方形的面积增加，可以有哪些办法？  

（生先讨论，并进行比画和想象。）

师：请同学们汇报讨论结果。  

生1：可以把长增加。  

生2：可以把宽增加。  

生3：可以把长和宽同时增加。

师：如果一条边增加，另一条边减少，面积会改变吗？  

生：不一定。

【赏析】

小学生的认知处于由形象直观思维为主向抽象逻辑思维发展过渡的阶段，我们的数学教学需要回归儿童视角，紧贴儿童认知发展水平进行。徐老师在课始师生一起画出一个长方形，“看得着”的图形更利于学生基于此展开空间想象：看着黑板上或随堂本上的长方形，学生会更容易更真切地回忆和体会“面积”以及面积相关计算，也更便捷地知道怎样可以使长方形的面积增加；如果没有画图，要解决这些问题并非易事，而且很多学生甚至包括大部分成人还是要在脑海里完成直观想象，还会辅以动作上的比划——撇开直观图形的辅助达到完全程式化的思维恐怕只有电脑才能轻易做到。

借助可视化的直观图形展开直观想象，其实也暗含着对概念的直观理解和对问题的合情推理，比如本环节的“面积”概念、“面积增加”问题。所谓“有图有真相”，作为数学学科研究对象的“数”与“形”在相互结合的同时又各具特色，形的直观性和背后的“数的背景”使其具有一种“简单的深刻”，有利于小学生的概念理解和问题解决。

二、画图整理助探究：从画题意到画思路

【教学片段】

1.出示例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？

（生自主阅读例题，理解题意。）   

师：这道题和我们过去学习的计算长方形面积的题目有什么不同？

生：长增加了，面积增加了。  

师：这道题能直接求出原来花圃的面积吗？光看文字叙述，你感觉怎么样？  

生1：不能直接求出原来花圃的面积。

生2：光看文字，一下子想不出办法。  

师：可用什么方法帮助我们更清楚地整理题中的条件和问题？

生：可以画图。

师：请同学们根据题意试着画图。

（生独立尝试画图。）

指名到黑板上画图：“长增加3米”怎么画？（生1在原长方形基础上增画上面一条长。）

师引：长方形有几条长？（生1又增画下面一个3米）大家看，这样面积增加了吗？谁来？

（生2补画增加后的宽）

师：谁来标明条件和问题？

生3标出相关数据和所求问题（如图1）

图1

（生在随堂本上逐步完善自己所画的图。）

师：画图之后再来解决问题，你愿意看着原来的文字思考还是图形？为什么？

生：看图思考比较方便。

师：会列式计算吗？自己在本子上试试看。

学生列式解答，指名板演。

18÷3＝6（米）

6×8＝48（平方米）

师：谁能说说黑板上这位同学这一步求的是什么？（原来长方形花圃的宽）

第二步呢？（原来花圃的面积）

师：像刚才这样的问题，我们为什么要画图？

生：看得更清楚。

2. 多媒体出示试一试：小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？

师：画图，减少了，往外还是往里？哪个部分是减少了150平方米？标出来。

学生尝试画图，列式解决，集体交流。

师：（指名）你来说说你是怎样来表示减少的面积？怎样列式的？

生1：150÷5＝30（米），20－5＝15（米），15×30＝450（平方米）。

生2：20－5＝15（米）15÷5＝3，150×3＝450（平方米）。

生3：150÷5=30（米），30×20=600（平方米），600－150=450（平方米）。

师：画图以后，还会启发我们产生不同的解决方法。

【赏析】

问题解决领域的“数学画”我们统称“画思路”，若细加考量还可以有“画题意”和“画思路”之分。所谓“画题意”即画图表征题意，也是整理题目中的数量关系，已知什么？求什么？先厘清。例题出示后，徐老师引导学生的一系列画图，就是在画题意，细致到位，有助于学生理解题意和数量关系。一旦学生把问题表征清楚了，问题也就解决了一大半；问题解决中的很多问题根源都出在“理解题意”上。所以例题“画好图”后，学生基本就会正确列式解答了。

画好题意之后，有些学生会继续将解决问题的思维过程清楚地画出来，这就是“画思路”，这方面最能体现学生思维的个性差异。教学“试一试”时，徐老师请不同解法的学生说一说自己的思路；如果条件允许还可以做得更细致一些：请不同解法的学生展示自己的图，依图说思路。为了弥补这一遗憾，听课后我将“试一试”问题发到我班微信群，请我班孩子画图解决（他们刚四年级结束，下期升五年级，这部分内容学习过，当时课堂上就有不同的“画思路”作品，可惜没有拍照；这次作业算是一种复习吧！）：图2-4三位同学很清晰地画出了解决问题的思考过程，有的不止一种方法，这样有助于锻炼思维的有序性条理性和多样性灵活性，有助于师生发现思维的疏漏之处便于更好地进行“教”的引导和“学”的改进，有助于学生想得“更清晰、更深入、更全面、更合理（郑毓信）”。

图2

图3

图4

三、多方画图破难点：纸上画和脑海画

【教学片段】

师：同学们都学会画图了吗？刚才是在纸上画的，没有纸在哪里画？（生：脑海）现在我们一起在脑海画图。

出示想想做做第2题：张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。

（1）长增加8米，面积增加了多少平方米？

生：40×8＝320（平方米）

（2）宽增加8米，面积增加了多少平方米？

师：画图是不是最终的目的？最终目的是什么？

生：列算式计算。

师：谁能很快进行比划，并列出算式？

生：50×8＝400（平方米）    （学生口算，教师板书）

（3）长和宽各增加8米，面积增加了多少平方米？谁能很快列出算式？

生：320＋400＝720（平方米）

师：到底是不是？在纸上画画图看。

学生尝试画图。列式解答，集体交流。

师：一个长方形长和宽各增加8米后会是一个什么图形？你有没有什么话想说？

生：少了一个角。

师：那个角在哪里？用手指指看，所谓的角是什么图形？

生：一个正方形。

生：还要加上8×8＝64（平方米）

师：计算也不是最重要的，比计算更重要的是方法。所以光脑子里画还不够，还要在纸上画一画进行验证，这是最高水平的画图。

长和宽各减少8米，面积减少了多少平方米？

学生画图后列式：40×8+50×8－8×8

（5）长增加8米，宽减少8米，面积改变吗？同桌讨论讨论看。

出示图：蓝色表示增加的，白色表示减少的，看看增加和减少是不是相等？

生：增加的是40×8＝320（平方米），减少的是50×8＝400（平方米）

师：所以面积？

生：减少了。

师：看来光看文字不行，还得看图形。

（6）长减少8米，宽增加8米，面积改变吗？脑中画一画图，面积改变吗？为什么？

师：有没有可能长增加和宽减少一定的米数，而面积不变呢？（课后讨论）

【赏析】

徐老师在课堂上指出“画图有三种水平，第一是在纸上画，第二是在脑海画，最高水平是在脑海画后再在纸上画加以验证”，这个说法里蕴含着深刻的哲学内涵，对于画图辅助问题解决来说，首先当然是纸上画图，整理题意，理清数量关系，思维可视化，顺利找到解决问题的方法；熟练了以后，可以不用纸上画图，直接在脑海想象，这也是空间想象力的发展；总有些问题比较复杂，仅凭脑海想象很容易出错，需要再回归纸上画图验证和修正想象。如此，空间想象力也会有个螺旋提升的过程，经过修正可能又可以只需脑海画图了。

对于“长和宽各增加8米，面积增加了多少平方米？”这样的问题，学生很容易错用40×8＋50×8＝720（平方米）的计算解答，仅凭“想当然”的直观想象难以准确把握；此时，徐老师请学生纸上画图看看“到底是不是”就非常必要非常及时了。面对学生画出的图（如图5），徐老师回到问题的本源处追问：“一个长方形长和宽各增加8米后会是一个什么图形？”引导学生重新审视所画的图，认识到“少了一个角”，从而及时发现和修正问题。这样的经验紧接着就被学生迁移到“长和宽各减少8米，面积减少了多少平方米？”等问题解决中去。而“有没有可能长增加和宽减少一定的米数，而面积不变呢？”成功地将学生的思考延伸到课后，他们会带着对这个有趣问题的执着思考走进更加广阔的探究天地。

图5

这个环节的画图不仅是一种解决问题的策略和方法，也是学生内隐性思维的一种外显化，从而“暴露”学生思维中的偏差和错误，促使学生和老师能够清晰地看见偏差和错误，进而使得老师的“教”和学生的“学”都有了支点，纠正“偏差”和修正“错误”的过程就是学习真正发生的过程。