【第777期】高一 |理解函数对应法则
对函数符号的理解
函数是一个重要的数学概念，伴随着数学学习不断深化，虽然我们遇到很多的具体函数，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数等等，这些函数都是比较具体的函数，更多的是集中精力研究这些函数的特点，对于抽象函数的理解则需要回归到定义上，特别是抽象函数的一些性质运算更需要对函数概念有深刻的理解，才能在解题时得心应手。
一、函数的概念
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
传统定义：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y 是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.其中x的取值范围为函数的定义域，y的取值范围为函数的值域.
近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作：f:A→B,或y=f(x),x∈A。习惯上我们称y是x的函数.
现行高中教材采用的是近代定义，常常将其提炼出函数三要素，即定义域、对应法则、值域，其实定义域和对应法则确定后值域也就随之确定，严格来说函数只要有定义域和对应法则就可以确定值域，即两个要素就可以确定函数.
二、对函数符号的理解
函数符号f(x)表示的是一个整体，是一个函数.其中x表示的是这个函数的自变量，f 是对应关系，表示的是对x施加的某种法则（或运算），它可以是一个或几个解析式，也可以是图象，表格，还可以是文字叙述，当然也可以是人为规定的某种抽象法.即对应法则是根据需要而定义，是一个符号，这就像我们初中学习过的用字母代替数一样.如我们用x可以代替3,5,10这样的常数，也可以用x代替a+1,2a-3等代数式，甚至还可以用字母代替不动事物.类似我们的姓名（汉字）在一定的场合代表一个人，破冰行动代表了一件事情.在不同的情境下代替的方式不同，含义不同而已.我们数学中用f 来表示对应关系其本质就是这样的一层含义，要准确的理解，不要看到一个字母，一个抽象的关系感到很恐惧，变换方式来理解，加强对符号的认识.
三、常量与变量
在一个变化过程中，发生改变的量是变量，有些量不随变量的改变的而变化，我们称之为常量.这在函数中要特别留意，因为在一个具体的函数中，可能会出现许多字母，我们要认真观察，发现其中的变量和常量进行区分.有时也会出现多个变量，这时我们就会确立一个主变量作为研究对象，如f(x)=x+a中出现了两个字母，我们可以发现x是变量，a在这里是参数（可以视为常量）.值得注意的是变量和常数一般来说是确定的，但是有时也会根据实际情况选择不同的字母表示变量，不一定都是x作为变量.
四、函数与映射
映射的概念就是将函数近代定义中的A,B数集换成非空集合，同时将集合A中的元素称为原像，集合B中的元素称为像，其余没有多少变化.对比之后就可以发现函数是特殊的映射，特殊在对集合的限制约束只能为数集，显然映射范围更广、更具有一般性.
五、复合函数
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C为A的子集时，称函数y=f(g(x))为y=f(t)与t=g(x)在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t=g(x)叫作内层函数，y=f(t)叫作外层函数.
函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.另外，要注意同一字母在不同表达式中的含义，如f(x)与f(g(x))中x的含义是不同的，它是用同一个字母来表示两个不同的函数的自变量，因此他们的取值范围不一定相同，但它们之间又有联系，即f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)的值相同时，它们所对应的函数值相等.
已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围（值域）为A，求出x的取值范围.
六、概念理解常见题型
题型一：相同函数的判断
对于给定的两个函数进行判断其是否为同一个函数，其实质就是判断三要素是否相同一致，实际操作时只需要判断定义域和对应法则即可.此类问题一般相对简单.