数学及时补漏洞，命题及其关系充分条件与必要条件知识与题型分析

今天我们进入高考数学一轮复习的第二节内容,命题及其关系,充分条件与必要条件;此节内容不难,但容易忘记,一是忘记命题间的关系,例如否题,逆命题等,还有充分条件必要条件的判断及证明,在高考中一般以选择题或填空题的形式考查,故对基础内容要重视,才能应对高考数学.

1．命题的概念:用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用-p和-q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是

原命题：若p则q(p⇒q)； 逆命题：若q则p(q⇒p)；

否命题：若-p则-q(-p⇒-q)； 逆否命题：若-q则-p(-q⇒-p)．

学霸数学

题型1,命题的基本关系

　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．

解题导引　给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．

解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．

(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

题型2:充要条件的判断

给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．

(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． (4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．

解　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；

而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0. ∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；

但两个三角形全等⇒两个三角形相似． ∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；

方程x2－x－m＝0无实根m<－2. ∴p是q的充分不必要条件．

(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇒p. ∴p是q的充分不必要条件．

题型3充要条件的证明

设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

解题导引　有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．

证明　(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，

则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，

两式相减可得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，

(2)充分性：∵∠A＝90°，

∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，

即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

题型4转化与化归思想的应用

【突破思维障碍】

本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．

【易错点剖析】

易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数