海伦公式

古希腊数学家海伦建立的用三角形三边的长度求面积的公式，公式如下

当三角形三边长都为整数时，用海伦公式就会非常方便快捷，但是若三角形三边长都是无理数，带根号的，那就无比难算。如下图分析的一样，大家可以试着去算一下：

三斜求积术

中国古人非常聪明，也发现了三角形面积的算法，在秦九韶的《数书九章》有以下文字：

问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？

答曰：三百一十五顷

以小斜为幂，并大斜幂，减中斜幂，余半子，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。

秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜，中斜、大斜。术即为方法，三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，减中斜平方，取余数的一半的平方，而得一个数。小斜平方乘以大斜平方，减上面所得到的那个数。相乘后余数被４除，所得的数作为实。作１为为隅，开平方后即得面积。

若用三斜求积术的话，那上述问题可以顺利快速的解决。

海伦公式与三斜求积术本质是一样的，它们是可以相互推导的。

公式的证明，有很多，可以通过初中的勾股定理来证明，三角形的内切圆的相关性质来证明，也可以通过高中的向量法来证明，也可由高中阶段的余弦定理来证明，可谓方法众多，大家可以继续往下了解。

证明的核心在于建立边之间的关系，同学们在推导时，要注意此证明中的方程的解法，一般采用代入法或者消元法来求解，对同学们的要求还是比较高的。

证明的核心在于内切圆与角、面积之间的关系。利用内切圆可以用两种方式来求三角形的面积，由此建立等量关系，最后可以整理出海伦公式，同学们在整理时需要耐心一点，这些转化过程还是比较麻烦的。

证明的核心在于向量与长度的转化。向量的数量积包括外积与内积，在高中阶段同学们可能只有内积，同学在在理解时可以先去了解一下外积的算法。

证明的核心在于余弦值的表达方式。通过余弦定理推导，非常简当。

海伦公式虽然是三角形面积公式，但是它的应用不只是求三角形的面积，很多时候如果能用到此公式，那对三角形面积的最大值或者最小值的求解非常有帮助。