智慧之光：陈景润解“百鸡问题”
智慧之光：陈景润解“百鸡问题”
开场故事：百鸡问题
在我国南北朝时期，北方出了一个神童，叫张丘建，他的计算能力超群，远近闻名。
一个官老爷想考考张丘建，就把张丘建的父亲叫去，命令他拿100文钱，去买100只鸡来。当时的鸡的价钱是公鸡五文钱一只，母鸡三文钱一只，小鸡一文钱可买三只。
父亲知道这是官老爷有意出的难题，可他左思右想，就是想不出一个办法来，急得像热锅上的蚂蚁，唉声叹气，愁眉苦脸。张丘建知道了，认真地思索一会儿，就叫父亲买4只公鸡，18只母鸡和78只小鸡送去。
父亲一算，果然正好，百钱百鸡！
于是，他买好了鸡，高高兴兴送到了官府。
不料官老爷又出新招：仍给他100文钱，要他再买100只鸡。不过，这回公鸡多少不限，就是不准买4只！
这下父亲又犯了愁。好在儿子又想出了办法：买8只公鸡，11只母鸡和81只小鸡，仍然是百钱百鸡。
父亲又高高兴兴地将鸡送去，心想，这一回总该了结了！
官老爷清点了鸡数，又计算了一下钱数，果然又是正好！他高兴得哈哈大笑。：“真聪明！会办事！再给你100文钱，再给我去买100只鸡。只是公鸡，母鸡和小鸡的数目不能和前两次相同。”
父亲真是哭笑不得，只得又垂头丧气地回家，将情况一五一十地告诉了儿子。
这次仍然没有难倒张丘建，他告诉父亲：只要买12只公鸡，4只母鸡和84只小鸡就可以了！这就是历史上有名的“百钱百鸡”问题。它的解题奥妙是：
4只公鸡钱 3只小鸡钱=7只母鸡钱=21文，因此，若少买7只母鸡，余下的钱就可以买4只公鸡和3只小鸡。这样，百鸡仍是百鸡，百钱仍是百钱。所以，只要求出一个答案，不管对方怎样要求，只要按上面的等式调整鸡的只数就可以求出其他的答案了。
陈景润的解法
陈景润(1933～1996)是我国著名数学家，他在数论的重要经典问题——哥德巴赫猜想的研究上取得了举世瞩目的成果。他证明了“陈氏(1 2)定理”，即《大偶数可表为一个素数与一个不超过两个素数乘积之和》，被世界上公认为是筛法的“光辉顶峰”。1978年他为“具有初中、高中程度的同志们”写了一本《初等数论》，目的为辅导大家读点数论书。浅显易懂地讲述数论问题是一件不容易的事，再由浅入深就更难了，特别是把一些重要的数学思想在“不知不觉”中平铺直叙，把你从“山重水复”引向“柳暗花明”。这种立足当前，放眼长远的手法，非常人容易做到的。读他的书，一定要好好消化，切勿“入宝山而空返”。
陈的解法是这样的：
设x，y，z分别代表鸡翁，鸡母，鸡雏的数目，则有
图片
为了求这个方程的解，先求方程
7s＋4t=1 (35－8)
的解。
因为1=4－3=4－(7－4)=－7＋4×2
即s=－1，t=2是方程(35－8)的一组解。
注意：这样一个特殊的转换却蕴含了一个极为重要的“求一”思想，请读者把它和更相减损法和“物不知数”题联系起来，深入地思考一下。令x=100s，y=100t，则
7x＋4y=100(7s＋4t)=100
故x=－100，y=200是方程(35－7)的一个整数解。我们可以证明，方程(35－7)的一切解都可以表示为
x=－100－4t，y=200 7t，(t=0，±1，±2，···)(35－9)
由于x，y代表鸡翁，鸡母的个数，所以，x≥0，y≥0，代入(35－9)式，解得
图片
因为t是整数，故t=－28、－27、－26、－25和z=3t。这样就得到下面的四组解：
图片
陈景润从“1”突破，体现“求一”思想，也是我国古代数学家处理这类问题的基本思想，后面我们将进行具体的说明。
陈景润的解法来自：
《中国古算解趣》，科学出版社，2004年第一版，2005年印刷，作者：郁祖权，中学数学特级教师。