有限元分析之单元
有限元基本思想第一条就是“将连续求解域离散成有限个互不重叠且仅在节点相连的单元“。单元并不是单独的割裂的，它包括边界和节点，网格又是由单元组成的。我们清楚，因为整个求解域过于复杂，亦或者是外载荷复杂，没有办法直接基于整个求解域一次求解，所以将求解域进行离散，然后对每一个局部区域进行求解，所有局部区域的解构成了整个求解域的解。从有限元的基本思想可以看出，离散作为求解的前提条件，而单元作为局部求解域，可以说：单元作为基本计算单位，是计算的基础。外界条件是直接作用域求解域的，而求解域被离散成有限个单元相互连接在一起，各个单元之间仅在节点产生作用，所以作用在单元边界上的条件（包括位移边界和载荷边界）需要转换到单元节点之上，形成“单元节点等效载荷”。从前面的短文可知，有限元通常使用的是位移法（亦有说刚度法）求解由15个力学量组成的方程。通常使用的是单元节点位移作为基本未知量参与计算，最终通过解方程获得单元的节点位移。在整个计算流程中，单元需要存储计算的一切信息，包括材料属性、单元性能、节点位置等。离散是先决条件，单元是计算基础，近似是本质特征。
从几何维度看，求解域可能存在的形式包括零维、一维、二维、三维，分别对应点、线、面、体这四种几何。点单元通常用来替代要表达质量属性的几何，如想要去掉结构中一个球形几何而又想要保留它的质量信息，此时可以考虑用点单元简化球几何，然后给点单元赋予相应的质量属性即可。由于点单元适用范围相对窄，这里不详细叙述。1D特征：一个方向的尺寸远大于其余两个方向的尺寸。线有直的、有曲的、有刚性的、有柔性的、有可拉伸的、有尽可拉伸的、有可扭转的、有允许弯曲的，线的维度高于点，所以它可以容纳更多的信息。
基础分类：2D实体单元（平面应力、平面应变、轴对称）、壳单元、膜单元、面单元平面应力：实体某一个维度的尺寸远小于其余两个方向的尺寸。载荷与边界条件施加在两个几何尺寸量级相当的方向，且在尺寸极小的一个方向，应力为0。平面应变：实体一个维度的尺寸远大于其余两个方向的尺寸。载荷与边界条件施加在两个几何尺寸量级相当的方向，且在尺寸极大的方向应变为0。轴对称：用于回转实体，采用与平面应变同样的计算方法
体是维度最高的，也是可以容纳信息最多的，所以也是最复杂的。基本体单元包括四面体和六面体，六面体对几何有一定的要求，四面体几乎适应一切几何。从阶次看：有限元中单元根据阶次主要划分为：低阶与高阶。所谓高阶单元是指单元位移函数多项式的阶次在二阶及以上的。回到有限元分析基本思想的离散问题小短文，里面有详细记述关于几何求解域离散的本质就是离散描述求解域的多项式。其中关于多项式的离散存在着两种不同的思想，分别是：P-Method和H-Method。这里的P方法就是用少许复杂的单元去拟合求解域，H方法就是用较多简单的单元去拟合，真是要谈到的高阶单元与低阶单元。低阶单元：指的是线性单元，就是单元位移模式（也有称单元形函数）为一次函数，也是以后常提到的常应变单元。因为单元的位移模式为一次函数（一条直线），这就注定需要极精细的离散处理才能获得相对准确的模拟数值。从位移的角度看，在外界条件作用下，单元的位移分布呈现出线性状态，说明它的变化极其平滑。如果单元的离散过于粗糙，位移数据相差势必较大，无法使得数据呈现平滑状态，也就不满足单元线性特征。从单元形状的角度看，对于简单的几何，少量的低阶单元确实也是可以很好的离散求解域，但是如果是复杂的几何，诸如带有圆弧边、曲面、尖角等特征，需要较多的单元才能够满足要求。你可以这样想：单元是一条线，如果几何不划分的较细，那怎么保证每一段的几何近似等于直线呢，如果不保证是直线，岂不是以直代曲，如果每一小段都存在这种较多的以直带曲，离散的误差积累起来就很大了，难以获得较准确的解。
高阶单元：通常指的是“二次单元”，当然高阶单元不仅仅局限于二阶。如果是二阶单元，指的是该单元位移模式是二次函数。我们都知道二次函数是一条曲线，所以单元的位移（变形）可以是曲边。根据高阶单元的特征，很容易想到只需要少量单元就可以离散复杂的边界，或者说同样复杂的求解域丽萨需要更少的高阶单元，亦可以说用同样多数量，高阶单元比低阶单元可以拟合出边界条件更复杂的求解域，当然我们对精度是有一定要求的。
低阶单元与高阶单元的对决：上面的文字叙述主要谈及高阶单元与低阶单元的离散问题，高阶单元比低阶的离散能力强很多，在描述曲边或者曲面几何的时候。但是高阶单元也有它自身的局限性，并不是所有的好让它一个人占尽。高阶单元仅适用特定的几何，适用范围窄。所谓特定几何是指结构整体简单，模型整洁，不会有很多细小的特征，诸如圆角，孔槽之类的，不会坑坑洼洼的状态。如果你一定要将它用高阶单元替代，通常前处理花费的代价会大很多，几何的剖分是一个大工程，有时候并不划算。低阶单元几乎适应任意几何，缺点是单元数量多。高阶单元会增加自由度。单元有节点的，而平衡方程是基于单元节点建立的，·高阶单元增加了单元的中间节点，意味着单元的整体自由度增加，故增加了单元平衡方程的个数，也是方程组的数量。方程变大，会让整体刚度矩阵规模增大，毫无疑问是会增加计算负担，需要更多的计算资源。高阶单元不太适合大的大变形分析。高阶单元带有中间节点，当模型受到较大载荷时，模型可能产生大的变形。那么对应的单元必定也是需要产生很大的变形，而单元带有中间节点的情况下会造成中间节点的滑移，从而致使单元出现极度扭曲，ANSYS经常会提醒你“Highly Distorted”，计算无法收敛。计算收敛的情况下未必得到的是想要的结果，但是不收敛是一定无法计算正确的解。高阶单元可能会更适合展现单元的力学属性。前面提到过单元刚性的问题，线性单元也称为常应变单元，意味着在这个局部区域处处的变形是一样的。要让几何结构在一个局部范围内的形变是一致的，这个区域肯定要足够小，这样将一个连续渐变的过程逐步分解成局部为常量的结果，即通过单元的数量逐渐淡结构这种明显的变形分布。高阶单元它的应变是一次函数（二次函数求导得一次函数），这意味着单元的形变可以是连续渐变的分布，减轻了个别单元的表现力。通过这段文字可以看出，如果单元数量不够，低阶单元难以准确捕捉分析结果，假如单元受到的是弯曲作用，数量不够的低阶单元可能捕捉的结果是“结构附近的应力变化不大（相距不远的几何），甚至得出的结果是常应力”，而高阶单元它得到的结果可能是“结构附近的应力是线性变化的”。很明显：线性分布比常值分布更具有表现力，你常值分布可能只是线性分布的一个局部反应而已。不知道你有没有好奇过，搞这么多单元种类做什么，居然还有零维、一维、二维几何，疯了吧，我们这个世界是三维的，物体都是三维的，怎么会分成这么多维度，它怎么样分的，这么分有什么重大意义吗?个人觉得单元按照几何分类的主要有如下几点原因：（1）根据结构组成特征划分，离散更容易；（2）更好的表现出力学特性；（3）节省计算开销，提高运算效率。直接根据实物进行建模，计算机需要消耗更多的资源类来存储模型，因为实体包含更多的信息。桁架如果根据实体建模远没有采用概念建模方便，且消耗的硬件资源多。在一般的仿真建模分析中，杆是没有需要定义横截面的，整个桁架都是点线组成。因为桁架这种几何结构，存在着天然的断点，如果从几何特征考虑直接离散，单元能够更好的适应几何，即离散误差会很小。实体几何表现真实结构最大的优势在于它能够精确的展现物理原型，使得建模误差能够降到最低，这种模型比较适合于在意或者关心物理原型细节表现的问题。如几何模型上有一些圆角，如果我们关心圆角处细节的变化，建模就应该遵循物理原型将圆角建出来。实体模型主要用于表现物理原型的细节。但并不是在所有情况下我们都那么想要知道每一处细节的特征表现，可能有的时候只是想要只在外在条件下，整个结构的大致表现。如果想要整体几何的表现，应该凸显的是：模型是否能够展现物理原型的力学性能（在结构分析中，大多数时候我们都是关心结构的力学性能表现的）。这让我想起了机械原理学习时候的一个知识点，在我们学习绘制机构运动简图的时候，老师经常跟我们讲“不要过于在意模型的具体的物理表现，要抓住的是它的运动特征”。所以如果我们要抓住整个模型的力学表现，我们应该抓住结构的力学特征，建模凸显的是力学特征。而采用框架模型，有的时候就能够达到这种效果，它对应的就是杆或者梁单元。另外实体的刚性是高于杆梁壳单元的，也就是在弯曲变形的时候相比较而言可能不会很好的表现（过于刚硬，不利于展现弯曲变形效应）。关于节省计算开支，上面已经有提到，不再赘述。
