浓度问题(二)
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上次讲到了稀释的问题,我们是通过列方程来解的。这次我们来看看,如何不列方程能快速计算所加的溶液的分量。
我们假设溶液A的浓度为a%,加入了浓度为b%的溶液B后,新的溶液浓度变成了c%,问:溶液A和B的质量比是多少?(此处a>c>b)
在没有找到简便方法前,我们仍然列方程——毕竟此时没有更好的办法。
设溶液A和溶液B的质量比为x,则 (x×a%+b%)/(x+1)=c%,解得x=(c-b)/(a-c).
没错,这就是简便解法!
a c-b
c
b a-c
借助方程的角度,我们得到了关于溶液配比的简便算法。
昨天的文章中,加水稀释可怎么办好捏?
水的浓度就是0啊!所以一样可以使用这个方法。
40 30
30
0 10
所以三份40%的酒精配上一份水,就能得到浓度为30%的的酒精溶液了。而水的质量是5千克,那么40%的酒精的质量就是15千克了。然后又加入纯酒精,浓度变成了50%,此时:
30 50
50
100 20
所以质量比为5:2,此时有30%的溶液20千克,马上可得纯酒精的质量为8千克。
虽然从根源上说,这个方法脱胎于方程, 但是在计算上确实带来了很大的便利性。
我们来看一个具体的应用:
甲乙丙三瓶糖水,浓度依次为63%,42%,28%,其中甲瓶有11千克,先将甲乙两瓶糖水混合,浓度变为49%,然后把丙中的糖水全部倒入混合液中,得到浓度为35%的糖水,问丙瓶中原来有多少糖水?
我们利用上述方法:
63 7
49
42 14
所以甲乙的质量比为1:2.当丙倒入后,可以得到:
49 7
35
28 14
所以混合溶液比上丙也是1:2.
因为甲瓶质量是11千克,所以乙瓶是22千克,甲乙质量之和为33千克,丙瓶的质量是混合溶液两倍,则丙瓶质量为66千克。
我们继续增加难度。
有一杯盐水,如果加入200克水,那么浓度变为原来一半,加入25克盐,那么浓度变为原来两倍,问:盐水原来浓度多少?
如果用方程来做,根据缺什么设什么的原则,我们可以设原来浓度为x, 很显然,此处溶液的质量和解题也有关系——你就想原来的溶液如果只有1克或者1吨,那么浓度变化的情况会是如何?所以还要设原来溶液质量为y,这样原来溶液所有的成分的质量都定了。
根据加200克水的条件,我们得到新溶液浓度为
xy/(y+200) =x/2
根据加25克盐的条件,我们得到新溶液浓度为
(xy+25)/(y+25)=2x
通过第一个方程解得y=200克,再把这个结论代入到第二个方程,解得x=10%.
不过对于小学生来说,形式运算总是面目可憎的。特别是有两个字母在一起,总是心有余悸。我们来看看用十字交叉法来做如何。
当然,这里也是要设原来的浓度为x%,
x x/2
x/2
0 x/2
也就是说,原来溶液和水的质量为1:1,即原溶液有200克。
x 100-2x 200
2x
100 x 25
即:(100-2x)/x =8,得到x=10.
从形式上来说,孩子也会更容易接受这样的方程。
从某种意义上来说,孩子在小学阶段灌输尽量用不用未知数的办法,一来是孩子身心发展规律,还没有做好接受形式运算的准备;二来是锻炼孩子的逆向思维。所以不要总觉得小学方法是奇技淫巧,单纯为了难为学生而设置的各种障碍,这种锻炼还是很有必要的。
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