多环路稳定性的一些新思考和新结论
之前存疑的问题有几个，其中一个是：对于复杂的多环路系统，如何判断稳定性，当时没有想到好的方法，而只想到对具有公共节点的系统，可以在该节点断开环路。今天看来，这个结论似乎不完全准确。
首先需要一些预备知识。除了我们熟悉的传输函数，在信号与系统里还给出了状态变量法。从状态变量法可以知道，在任何一个系统中，任何两点之间的传输函数都存在唯一的一个多项式作为分母。因此用这个分母就可以作为判断系统稳定性的依据。这和传输函数中的环路增益其实是完全等效的。之前的难点就在于这个环路增益如何给出。纯用梅森公式没问题，但是对我们电路设计者来说没意义。最近的结论就是在这方面有所想法：如果在系统的任意一个位置断开并插入一个激励，那么可以知道输出就是A/(1+L)，而A=1，因此用这个方法就可以得到环路增益L。这与以前传统的单环路方法是完全一致的，因此这里的结论就只是说：以前的方法在现在仍然可以用，不用在意什么单环路多环路。
上面的结论看起来与我之前的一些结论矛盾，但再仔细思考下去就能发现一个更重要的问题。
之前之所以把多环路专门提出了，就是因为在多环路仿真中发现了一些特殊的现象：在不同位置断开对环路增益有影响。大家不妨自己构建一个多环路的系统去亲自计算一下。当构建好这个多环路系统后，不妨再算一算令分母为0的多项式，看看有什么特点。
在此可以提出一个新的结论：系统的稳定性与系统的稳定性表现是两个完全不同的概念。这是我现造的两个概念，目的是为了区分两件事：系统是否稳定（在闭环情况下是否有右极点），系统在闭环后受到激励的表现（是否有过冲，是否有长时间震荡等）。对第一件事情，只有唯一的一个判据，就是奈奎斯特判据。这就等效于观察上面让计算的分母为0的多项式。不同的环路增益有不同的曲线，但是他们有一个共同点，就是如果其中一个曲线能取-1的值，那么其他所有的曲线也必须能取到-1。对第二件事情，在正常情况下我们喜欢用phase margin之类的值来判断。但是不同的环路增益的PM是可以完全不同的，也不需要完全相同。你在一条曲线上看到90度，也许在另一个条曲线上就只能看到10度。
举个不太恰当的例子：系统的稳定性只是在问这个系统是生是死，这是这个系统的特征，而系统的稳定性表现是问这个系统是否健康，至于什么是健康，那就仁者见仁了。
因此对多环路系统，是可以在任意一点打开环路仿真稳定性，只要这个曲线的PM不为0度就可以下结论：这个系统是稳定的（这点似乎我还没有严格的证明，之前的想法有一个漏洞）。但是如果想考虑这个系统在时域的表现，那最好还是在各个点都打开环路检测一下。
另一个问题就是类似pll这样的系统，在DC上相位就为180度，从理论上说gain margin严重不对，为什么没人说它不稳定呢？同样一个类似的问题就是如果相位先下降再上升，那么是否稳定。其实这里问的都不完全是稳定性，而是稳定性表现。就这个问题，我也大概想了想，把思路放在这里。一个系统闭环后的时域表现，基本可以用Q值来反映。如果一个系统闭环传输函数中有一个地方增益格外的大，那么就说明它容易过冲或者震荡时间很长。而判断闭环增益，就可以用开环增益来看，这是一个矢量计算的简单过程。H=A/(1+L)。对pll这样的系统来说，在DC点可以算出来，H并没有异常增大。对普通系统来说，基本可以认为PM越小，闭环时在GBW处增益就异常增加的越多。一个简单的总结就是只有开环时增益接近1，相位接近180，闭环时就容易产生H的峰值。两个条件缺一不可。
附录：为了更详细的说明这个问题，给出一个实例
用上面一个典型的多环路图来说明。在V1和V2处断开，可以分别得到图中的公式。让我们先不要管什么bode图，奈奎斯特判据之类，先想想如果求V1到y的增益，求V2到y的增益，求x到y的增益，会是什么形式？很明显，在分母处一定是1/(1+L）的分母再乘以环路中某个增益的分母，并且注意到不同处断开求的的1/(1+L)的分母都是一样。的。我们求的增益是什么？是闭环传输函数。因此判断稳定性只需要看这个多项式对应的根是否在右半平面。这就和状态变量法中推导的结果一致：任何一个系统，从任何一点到另一点的传输函数，其分母都可以写成一个共同的（1+L）的形式。如果开环时没有右极点，我们也就只需要考虑（1+L）的零点就可以了。
为了考虑1/（1+L）的极点，我们可以使用复变函数里的结论，去观察L是如何绕（-1，0）这个点运动的，这也就是乃奎斯特定理的意义。从上面可以看出，两个不同的L都可以用来看，只要其中之一能保证无右平面极点，另一个也能保证。但是这两个的PM，GM等未必需要一样。换一个意思就是从V1，V2，X等点加阶跃冲击，在Y处的响应可能会过阻尼也可能会欠阻尼。
这个问题可能过于复杂，许多读者也未必有相应的知识储备，所以总结观点如下：
0.预备知识：一个系统稳定与否，只取决于闭环传输函数中是否有右极点。为了判断是否有右极点，则需要用开环的环路增益（单环路情况）卷绕 -1的次数判断。对多环路，也有一个特征多项式，其地位与环路增益相同。
1. 一个多环路系统，在任何一点打开后给出一个非传统意义的环路增益，打开点的位置会影响该环路增益的形状。
2.但是该环路增益的形状尽管发生变化，由于闭环后是否有右极点是不变的，因此该环路增益卷绕-1的次数不变，因此可以用该环路增益判断是否稳定。
3.但在实际中，我们除了关心是否稳定，还关心在稳定情况下的时域表现。一般而言，可以用相位裕度来估计该时域表现。在不同点打开的环路增益的相位裕度是不同的。
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