「初中数学」分式方程应用题汇总及如何找等量关系

列方程解应用题的知识,是数学代数部分的重要内容,前边总结过一元一次方程应用题型,这一期归类总结分式方程应用题及如何找等量关系.

应用题列方程,不管是一元一次方程,分式方程还是初三要学习的一元二次方程,总的思想和方法大致类似相通,所以说小学,初一学好列方程解应题这部分知识,以后的学习就相对容易的多,列分式方程相比一元一次方程来说,根据题意及相应量的关系,未知数'跑”在分母上或(除数)的位置上,列出的自然是分式方程,下面分类说明.

一.行程问题

基本的数量关系:路程=速度×时间

1.一辆汽车开往距出发地180千米的目的地,按原计划的速度匀速行驶60千米后,再以原来速度的1.5倍行驶,结果比原计划提前40min到达目的地,求原计划的行驶速度.

【分析】首先审清题意,明确细节过程,寻找不变的或隐含不变的量,以此来列方程.

总路程:180千米.

行走方式:①按原计划到达目的地;②先按原速度行驶了60千米,后又为原速1.5倍行驶120千米到达目的地.

速度:设原计划速度为x千米/时,后120千米的速度为1.5x千米/时.

时间:原计划用时180/x,实际用时为,前60千米用时60/x与后120千米用时120/(1.5x)之和,即,60/x+120/(1.5x).

关键词:实际比计划提前40分(40分=2/3时).

等量关系:计划时间一实际时间=2/3时.

解:设原计划行驶速度为x千米/时,依题意可得方程为.

180/x一60/x一120/(1.5x)=40/60

解得x=60

经检验,x=60是原方程的解,且符合题意.

答:原计划的行驶速度为60千米/时.

注意,解分式方程题,必须检验.若此题设时间也能做,相比上边难一些,由于实际提前40分,真正是120千米路程中提前的时间,设原计划行驶120千米用时y小时,则变速后行驶120千米用时为(y一2/3)h,依据速度之间的关系可得方程为:1.5×(120/y)=120/(y一2/3),解得y=2,经检验y=2是原方程的解,所以120÷2=60(千米/时),答:原计划的行驶速度为60千米/时.

通过两种设未知数的方法的对比,同学们体会哪一种简单可取.

2.李明到离家2.1千米的学校参加初二联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时离聚会还有42分钟,于是他立即步行(匀速)回家,在家拿道具用了1分钟,然后骑自行车(匀速)返回学校,已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍,李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟.

(1)李明步行的速度是多少米/分?

(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?

【分析】此题看上去文字多,我们把题干分两部分之后,与第一题是类似的.

路程:2100米.速度:骑车是步行速度的3倍,时间:骑车比步行少用20分,关系清晰.

解:(1)设李明步行的速度为x米/分,依题意可得.

2100/x=2100/(3x)+20

解得x=70

经检验,x=70是原方程的解.

答:李明步行速度为70米/分

(2)李明步行回家用时:2100÷70=30(分),则骑车到校用时:30一20=10(分),所以从返回家再到校共用时:30十10+1=41分,由于41<42,所以李明能在联欢会开始前赶到学校.

二.工程问题

等量关系:工作效率=工作总量/工作时间

3.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件,若每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可多生产300个零件.

(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.

(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%,按此测算,恰好提前两天完成24000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.

【分析】(1)原计划工作量:24000个零件,实际工作量:(24000+300)个零件,实际工作效率比原计划多生产30个零件,工作时间相同,所以可列方程.

(2)第2问等量关系为:5组机器人与所有工人每天生产零件总和与用时间之积=24000.那么有多少工人呢?解出第一问自然就明白.

解:(1)设原计划每天生产零件x个,依题意得24000/x=(24000+300)/(x+30)

解得x=2400

经检验,x=2400是原方程的解且合题意∴规定天数为24000÷2400=10(天)

答:原计划每天生产零件2400个,规定的天数为10天.

(2)设原计划安排工人人数为y人,则工作效率为2400/y个/天,则每组机器人的工作效率为(1+20%)×20×2400/y个/天,依题意得,[5×(1十20℅)×20×2400/y+2400]×(10一2)=24000,解得y=480

经检验,y=480是原方程的解且合题意.

答:原计划安排工人人数为480人.

4.某校为美化校园,计划对面积为1800平方米的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.

(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少;

(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天?

【分析】(1)审题知甲队效率是乙队的2倍,且在完成工作量都是400平方米的条件下,甲队工作时间比乙队少4天,依据基本数量关系可列方程.(2)依据甲队的费用加上乙队的费用≤总费用,列出不等式求解即可.

解:(1)设乙工程队每天能绿化的面积为x平方米,依题意得

400/x一400/(2x)=4

解得x=50

经检验,x=50是原方程的解且符合题意,则甲工程队每天能完成的绿化面积是50×2=100(平方米)

答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100平方米,50平方米.

(2)设应安排甲队工作y天,依题意得

0.4y+(1800-100y)/50×0.25≤8,解得y≥10.

答:至少应安排甲队工作10天.

三.调运问题

5.某年5月,某县突降暴雨,造成山体滑坡,房屋大面积受损,该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区,现有甲、乙两种货车,已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐逢,且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆数与乙种货车装运800件帐篷所用车辆数相等.

(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷.

(2)若这批帐篷有1490件,用甲、乙两种货车共16辆来装运,甲种车辆刚好装满,乙种车辆最后一辆只装了5O件,其他装满,求甲、乙两种货车各有多少辆.

【分析】基本数量关系为:车辆数×每辆车装的件数=总件数,若设乙车每辆可装x件,则甲车每辆可装(x+20)件,依据车辆数相等可列方程.

解:设乙种货车每辆装x件帐篷,依题意得1000/(x+20)=800/x

解得x=80,

经检检,x=80是原方程的解,x十20=100答:甲、乙两种货车每辆分别装100件帐篷,80件装篷.

(2)设甲种货车有y辆,则乙种货车16一y辆,依题意得

100y+80(16一y一1)+50=1490

解得y=12,则16一y=4

答:甲种货车有12辆,乙种货车有4辆.

四.销售问题

6.为了尽快实施'脱贫致富达小康'的目标,某县扶贫工作队为李庄购买了一批苹果树苗和梨树苗,已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元,购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.

(1)若两种树苗购买的棵数一样多,求梨树苗的单价.

(2)若两种树苗共购买1100棵,且购买两种树苗的总价不超过6000元,根据(1)中两种树苗的单价,求梨树苗至少购买多少棵.

【分析】基本数量关系为:棵数×每棵单价=总价.①利用树苗棵数相等可列方程.②利用两种树苗的总费用≤6000,列出不等式求解即可.

解:(1)设梨树苗的单价为x元,则苹果树苗的单价为(x十2)元,依题意,得

2500/x=3500/(x+2)

解得x=5,

经检验,x=5是原方程的解,且符合题意

答:梨树苗的单价是5元.

(2)设购买梨树苗a棵,则购买苹果树苗(1100一a)棵,依题意,得

(5十2)(1100一a)十5a≤6000

解得a≥850

答:梨树苗至少购买850棵.

五.方案问题

7.某同学准备购买笔和本子送给希望小学的同学,在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同

(1)求这种笔和本子的单价;

(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,且笔和本子都买,请列出所有购买方案.

【分析】①基本的数量关系为,单价×数量=总价,依据本子和笔的数量相同,可列方程.②由于100元刚好用完,且本子和笔为整数,分析得出方案.

解:设这种笔的单价为x元,则本子的单价为(x一4)元,依题意,得

30/(x一4)=50/x

解得x=10

经检验,x=10是原方程的解且符合题意,则x一4=6

答:这种笔的单价为10元,本子的单价为6元.

(2)设恰好用100元可买这种笔m支,本子n本,由题意得,10m+6n=100,整理得m=10一3n/5.∵m,n都是正整数,∴当n=5时,m=7;当n=10时,m=4,当n=15时,m=1,再取n=20就不成立了.

∴有三种购买方案:

①购买这种笔7支,本子5本;

②购买这种笔4支,本子10本;

③购买这种笔1支,本子15本

六.和倍问题

8.某市计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米,自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.

(1)问实际每年绿化面积为多少万平方米?

(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?

【分析】基本數量关系为:每年绿化面积×年数=绿化总面积.第2问列不等式即可.

解:(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为1.6万平方米,依题意得

360/x一360/(1.6x)=4

解得x=33.75

经检验x=33.75是原方程的解.1.6x=1.6×33.75=54.

答:实际每年绿化面积为54万平方米.

(2)设实际平均每年绿化面积要增a万平方米,则54×3+2(54十a)≥360,解得a≥45.

答:实际平均每年绿化面积至少要增45万平方米.

【总价】通过上边分析看,分式方程应用题一般不难,往往结合一些不等量关系出题,初一学好了,初二这类题一般可解.

答:

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