抛物线压轴一题：二次函数与二次方程，参数方程

已知抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）经过A（-1,-1)、C（0，1），顶点为D。

（1）求证：①无论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点。

②抛物线在x轴上截得的线段长度恒大于1.

（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过点（2，ab），求抛物线解析式；

（3）随着a取值的变化，抛物线顶点D(x,y)的位置也在变化，求y与x的函数关系式。

这个是2021年中考题原题，具体来自哪个地区，不太记得了，不过这个题目考得还是很不错的，只是感觉第一问难度大于第二第三问而已，其他倒还好，第三问应该不用写出函数的定义域，故而难度应该也不大。

第一问要翻译出来，抛物线总与x轴有两个交点是什么意思？抛物线与x轴的交点，也就是二次函数取值等于0的点，也就是有两个可以取值等于0的点，其实就是方程ax²+bx+c=0一定有两个不等实数解，这样就转换成证明判别式△＞0即可。

抛物线在x轴上截得的线段就是两根之中的大根减小根，既然能够找到两个实数解了，自然可以找到x1-x2，去证明x1-x2＞1即可。

第二问相当于题目已经给出两个条件了，再增加一个条件，求解析式，这很简单，代入即可。

第三问稍微难一些，有点像高中的参数方程了（事实上也是参数方程），先求解出x、y与a的关系式，再考虑如何消掉a，即可得y与x的函数关系式。

以我的经验，第三问扔给一个已经学习了参数方程的高中生，也未必能解出来，所以此题难度很大。

此题第一问实际上是将方程与函数结合的思想，这在高中中非常重要，第一问的第二小问，是韦达定理的简单变换，这也是高中的重点之一，第三问，参数方程转化成一般方程，高考有一年也曾考过很难的题，此题还不算很难，毕竟a和x的关系只是一次倒数关系，而不是二次关系。

总之，这个题目有点像高中的题，而不是初中的题，这种题在南宁2021中考中也曾出现过初高衔接的题，希望类似的题目得到大家的重视。