人们把数学成为抽象化学科归功于希腊人,这一重大贡献有其不可估量的意义和价值,因为同一个抽象的三角形和代数方法能应用于几百种不同的自然现象一事,正是数学的力量和奥秘之所在。
希腊人坚持要演绎证明,这的确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里,有的的确也搞出了一种粗陋的算术和几何,但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论。需要用演绎推理的这种决心是同人类在其他一切领域里的习惯做法完全相违背的;它实际上几乎像件不合理的事,因为人类凭经验、归纳、类比和实验已经获得了那么多高度可靠的知识。但希腊人需要真理,并觉得只有用毋庸置疑的演绎推理法才能获得真理。他们又认识到要获得真理就必须从真理出发,并且要保证不把靠不住的事实当着已知。因此他们把所有公理明确说出,并且在他们的著作中采取一开头就陈述公理的做法,使之能马上进行批判考察。除了想出用这种非凡的方案来证实可靠的知识以外,希腊人还表现出一种创新者所少见的细致精神,他们认识到概念必须彼此没有矛盾,以及不能用不存在的图形(如正十面体)来搞出前后一致的逻辑结构,这一切显示出他们几乎有超人的并且肯定是空前的思维深度。现在我们知道他们在研究一个概念以前证明其存在的做法,是靠演示它能够用直尺圆规构作出来。希腊人在发明定理与作出证明方面的能力之强,从欧几里德《几何原本》之含 467 个命题以及《圆锥曲线》之含 487 个命题。而且所有这一切都是从《原本》里的 10 个公理推出这一事实,可以得到证明……欧几里德和阿波罗尼斯的严格演绎式的数学论著,使人感到数学家是用演绎推理搞出发明创造来的。但我们回顾欧几里德之前 300 年间的数学活动,就应该看到证明之前必先有猜想,综合之前必先有分析。事实上,希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起的,希腊人把那些能从定理直接推出的命题称作系或衍论。普洛克努斯把这种无需费多大力气得出的结果称做横财或红利……古典时期的贡献有比数学内容更重要之处,它创造了我们今天所理解的那种数学,它坚持用演绎法来证明,重视抽象而不重视具体,这些都决定了数学的性质。至于它选择一组最富于成果而又非常易于为人接受的公理这种做法,它对几百个定理的猜测和证明,则又大大推动了科学的向前发展。
参考文献:
[1]莫里斯∙ 克莱因:《古今数学思想》 [M] 上海科技出版社. 2002.7
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