续写缠论动力学2-定点和稳定性

缠论动力学2-定点和稳定性

上一节讲到因为两个变态狂，使得力学的分析从三维空间变成了六维空间。高维空间的好处有什么呢？它使我们由关注研究物体的某一条运动轨迹，变为了同时研究物体所有可能的轨迹，所有可能的历史，所有可能的未来。也就是说三维空间是我们的宇宙，而高维空间却具有把握的却是平行宇宙，那些符合物理定律的所有宇宙。这个思维意想不到的开拓了整个现代物理，从统计到量子力学。

它不仅解释那些我们看见了的世界，还告诉我们没有看见的世界是什么，什么是有可能发生的，即使我们没有看到，只是因为在我们的世界中它没有发生或者我们看的时间还不够长。因此缠论的根基就建立在了高维思维上，包含了所有的可能性，可以解释一切可能的情况，这和那些先验性的预测是完全不是一个量级的。

这是一种超越性的思维，让我们绕过事物的表现，直抵本质，两种截然不同的领域，只要它们具有结构相同的微分方程，它们就是一回事。在动力学的世界，无论是太阳升起降落，还是交流电的震荡，甚至我们的心跳与王朝的更替，只要归于同类方程引导的周期运动，就是同质的。这就如同万有引力定律，苹果落地与地球绕日运动， 在动力学的角度里只是初始速度不同而已，本质都是引力。

由于动力学的思维的高屋建瓴，因果关系的表述之清晰，决定了动力学终将不止步于物理，而它也的确席卷了那些我们物理不能染指的领域，如生物学，社会学，经济学，甚至语言学，心理学，每当动力学进入一个领域，我们就可以说我们真正理解了那个领域，而之前，最多只是描述而已。

原因在于这些领域都显得太复杂了，这复杂表现为：

一、元素太多

二、非线性

三、能量不守恒

所谓元素多，好理解，无论是生物系统，还是社会、经济，都是又无数的小单元组成的，如细胞，人和企业。它们的数量之多，是原来的经典物理领域无法比拟的。

而非线性就较难表述。首先，什么是线性？线性就是可加和性。物理系统往往是线性的。如在牛顿力学里，力是可以加和的，物体受的合力是所有施加在物体的力的和，每一种力混合在一起时候都和它们单独存在时候一致。

但线性显然在生活或社会这样的系统上不成立，你并不是把一堆细胞放在一起就有了生命，也不是把一堆人放在一起就有了社会，细胞组成生命或人组成社会，都是在更大尺度上形成了新的组织。 而这些组织所呈现的性质，完全不能等价于组成它们的单元的性质的加和。

至于第三点能量不守恒，生物或社会系统都是典型的耗散系统，这些系统的本质特点即不停的与外界交换能量和信息，一旦这些系统能量守恒往往意味着已经死亡。

在生物学、社会学和经济学中，无论是生命的过程，还是阶级的演化，或者是股票的涨跌，在动力学中都可以被表述为相空间中的流形。动力学也给人类使用计算机大规模解决复杂问题奠定了基础，因为只需要给计算机程序设定好该系统的“运动法则”：此刻与相邻时刻的状态迭代关系，然后赋予不同的参数，即可模拟出该系统的演化。

由于动力学的核心是预测系统的变化，那么非线性动力学也是如此，一个经典的非线性动力学系统其运动法则的最标准的表述形式为：

其中x是一个向量，它具有的分量的个数就是系统的维度。那么要预测一个系统的未来，你只需要知道它在微小时间尺度里的各维度上的动力学方程。

维度是动力学系统的最基本属性，它决定了系统的复杂性和基本性质。一维系统是最简单，在一个一维的动力学系统中，最重要的基本特性就是“定点”（Fix Point）。理解这个“定点”，还是用实际案例来说明：

18世纪末，有一个叫做马尔克斯的伟大思想家写了《人口论》，其中提出了这样一个困扰了人类上千年的问题： 人类的人口呈指数增长，而食物的总量至多成代数增长， 所以当人口的增长超过食物，人类将不可避免的陷入饥荒，疾病和战争。而普遍性的贫穷，是人类文明的宿命。这个理论解释了为什么许多古代文明陷入发展停滞的泥沼，从埃及，两河领域到古中国。

马尔萨斯的理论，其实诠释的是一个叫Fix Point-定点的动力学概念。 它所说的是，在一个复杂系统里，事物的增长往往不是线性的，而是存在一定的稳恒状态，系统的变化会逐步减速并自发的把自己维持在这个状态上。

这样的现象几乎在生活中一挑一大把。比如说人长高到一定程度就不长了，你在网上发状态，开始很多人点赞，但在一定时间后减速直至停止。

非线性动力学用定点fix point来描述这种现象。 为什么fix point 普遍存在？ 因为负反馈的普遍存在。当一个事物像一个方向走的太远，就往往有一种反方向的作用力把它拉回，有点像我们所说的物极必反或阴阳相抵。

根据马尔萨斯的理论， 可以建立一个经典一维动力学模型：

在人口自然增长过程中，净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数为r，所以如果第一年是2，那么第N+1年即使2的N次方（指数型增长），但是一旦人口接近环境的阈值，就会有人开始饿死，而这个饿死的比例随着人口的增长而增大（负反馈）。这样，当饿死的人等于出生的人，两个此消彼长的要素就在某个点上平衡了，这就是所谓的定点。

微分方程为：

dN/dt=rN(1-N/K)

一个描述增长（rN），一个描述饥饿（1-N/K），而定点就是使微分（人口增长率）为0的点，当人口在这个数字上，就会不增不减。

这个定点具有一个更深刻的性质，无论你的人口一开始的设定值是多少，只要K是确定的，系统都会趋向于一个相同的值，这个值就是由K这个环境容量所决定的。

这样的话，这个图形可表现为下图：

图中不同的曲线代表着初始参数不同，箭头代表着随着时间的推移，人口数量N的变化趋势，最终无论初始参数是什么（负数没有实际意义，也就无需考虑），最终人口都会趋向于一个固定的值（也就是接近K）。

这很好理解，随着人口的增长，当接近环境承载的极限时，资源将变成稀有东西，负反馈出现，势必引发大规模的饥荒或者战争，从而使得人口的增长趋于0.

这个现象可以解释为什么亚欧草原的游牧民族每隔几百年就会对农业文明社会进行一次大扫荡，为什么中国每一个朝代的结束都会伴随着大饥荒。因为每隔几百年的发展，人口增长达到了环境承载能力附近，此时要么发生战争（对战争胜利的一方来说，战争扩大疆土，相当于增加了环境的负载K的值，同时战争也死人，减少了人口N的值），要么出现饥荒（减少人口N的值）。什么合久必分，分久必合这种天意不过是动力学中的定点在起作用，懂动力学的人不会听信某些神秘魔咒，而是列出一个漂亮的微分方程。

要想避免战争和饥荒，有两个方法：

1. 想办法提高K的值

2. 通过其他方式减少N的值

现代科学技术的快速发展，农作物和畜牧业的产量都大大增加，相当于扩大了环境的承载能力，也就是增加了K的值，所以自二战以来，人类的人口虽然有爆发式的增长，但K的值增长得更快，依然可以保障人口的增长。从这个意义上来说，袁隆平对中国的贡献是最大的。

除了战争和饥荒之外，瘟疫和疾病也是消灭人口的一种手段，现在的人类得癌症的几率要远远大于以前，这也是这个动力学系统的一个演化结果。

定点其实可以理解为宿命，我们常说“人的命天注定”，其实就是指一个人的性格基本是天生的，而为人处事的方式基本是由性格所决定，也就是说一个人从生下来后，其动力学的微分方程已经确定，无论生在豪门还是山沟沟里，最终都将达到某个定点，这就是所谓的天命！

此外，还有一个特性，就是定点的稳定性。这是描述当系统在定点周边时的状态，是容易接近定点还是离开它。举个最简单的例子，就是单摆，单摆有两个定点，分别是最高点和最低点，最低点是稳定的定点，因为只要初始位置不在最高点，那么最终单摆都将停在最低点。而最高点则是不稳定的定点，因为只有初试位置在最高点并且没有任何外力的时候才能在该定点停止，只要有任何一点偏移，都会使得该单摆回到最低点这个定点。

这个稳定性，换一个词叫“吸引力”，一个稳定性定点，就像一个黑洞，它能够把进入其引力范围内的所有物体都吸入到定点中，那么它所管辖的区域称为-Basin of Attraction，它是强韧度的代表，无论你如何干扰迫害它，只要在其管辖范围内，最终都将归于它。那么找到这个Basin of Attraction就是利用动力学系统的定点来做预测的必备条件。

前面的这个人口模型，人口为0就是一个不稳定的定点，它可以永远为0，但只要系统的人口增长了一点点，它就会趋于定点K，再也回不到定点0了，那么定点K所管辖的Basin of Attraction就是除了0之外的所有区域。

最强的定点具有全局性，就是无论有什么样的初始条件，系统都将趋于这个定点，那么这个系统就是一个高度可预测的系统。判断一个简单的动力学系统，抓住定点就是抓住了要害！