【初中数学】尺规作图重要知识点 8种典型题解析!

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1、尺规作图规范用语
第一、、用直尺作图的几何语言有三种,分别为:
1、过点x、点x作直线xx;或作直线xx;或作射线xx;
2、过两点xx做线段xx;或连结xx:
3、延长xx到点x;或延长(反向延长)xx到点x,使xx=xx;或延长xx交xx于点x;
第二、用圆规作图的几何语言可总结为四种,分别为:
1、在xx上截取xx=xx:
2、以点x为圆心,xx的长为半径作圆(或弧);
3、以点x为圆心,xx的长为半径作弧,交xx于点x:
4、分别以点x、点x为圆心,以xxxx的长为半径作弧,两弧相交于点x、x.
2、尺规作图基本步骤
当发现作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件:2能根据题目可以画出要求作出的图形,以及可以列出该图形应满足的条件有哪些:3能根据作图的过程写出每一步的操作过程当不要求写作法时,一般会保留作图痕迹应该注意的是,对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法。

3、尺规作图典型题分析

典型题1:难度★
如图(a),已知∠AOB和点C、D.求作一点M,使点M到∠AOB两边的距离相等,且与C、D组成以CD为底边的等腰三角形.
【答案解析】  因为到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上;而根据题意,点M应满足条件MC=MD,所以点M又在连结CD所得线段的垂直平分线上.
(1)作∠AOB的平分线OG;
(2)连结CD,作CD的垂直平分线,交OG于点M,如图(b),M就是所要求作的点.
典型题2:难度★
如图,桌面上有黑白两球P、Q,试用尺规在边AD上找出一点,使黑球射向这点后反弹,正好击中白球.
【答案解析】
(1)以P为圆心,适当长为半径作弧,交AD于两点E、F;
(2)分别以E、F为圆心,以同样长(即PE)为半径作弧,在AD的另一侧交于点R(即P关于AD的对称点);
(3)连结RQ,交AD于点M,M就是所求作的点.
典型题3:难度★★
如图(a),A、B、C三个城市准备共建一个飞机场,希望机场到B、C两市的距离相等,到较大城市A的距离最近,试确定飞机场的位置.
【答案解析】机场到B、C两市的距离相等,则应在线段BC的垂直平分线上;而这条垂直平分线上的点到A的最短距离是点A到这条直线的垂线段的长.
(1)连结BC,作线段BC的垂直平分线l;
(2)过点A作直线⊥的垂线,垂足P,如图(b),点P就是飞机场的位置
典型题4:难度★★
如图(a),已知线段a、b和∠AOB,C是边OB上一点,求作点M,使M到OA的距离为a,到点C的距离为b.
【答案解析】
(1)在OA上任取一点D,过D作OA的垂线l;
(2)在⊥上截取DE=DF=a,过E、F作l的垂线l1、l2;
(3)以C为圆心,b为半径作弧,与直线l2相交于点M1、M2,如图(b),则点M1、M2都是所要求作的点.
典型题5:难度★★
如图(a),已知线段a、b,求作△ABC,使BC=a,AB=b,∠C=90°.
【答案解析】
(1)作线段BC=a;
(2)过点C作CD⊥BC;
(3)以B为圆心,b为半径作弧,交CD于点A;
(4)连结BA,如图(b),△ABC就是所求作的三角形.
典型题6:难度★★
如图(a),已知线段a,∠a,求作△ABC,使∠C=90°,∠A=∠a,AB=a.
【答案解析】
(1)作∠DAE=∠a;
(2)在AD上截取AB=a;
(3)过点B作BC⊥AE于C,如图(b),△ABC即所求作的三角形.
典型题7:难度★★
已知等腰三角形的底角及底边上的中线,求作这个等腰三角形。
【思路方法】根据等腰三角形的性质,底边上的高就是底边上的中线由题意,本题中等腰三角形被底边上的高所分成的两个直角三角形中,一个锐角和—条直角边已知,可以先予作出,进而得到所需的等腰三角形.这种通过分析,先以图形中某一部分容易作出的三角形为基础的作图方法,通常称作三角形奠基法.
【答案解析】已知等腰三角形底边上的中线m,底角∠a,如图(a),作法如下:
(1)作∠EDF=90°,在DE上截取DA=m;
(2)以AD为一边,作∠DAB=90°-∠a,另一边交DF于点B;
(3)在BD延长线上截取DC=BD,连结AC,如图(b),△ABC就是所求作的三角形.
典型题8:难度★★★
已知三角形的两边及其中一边上的中线,求作三角形.
【答案解析】如图(a),已知线段a、b、m,要求作出△ABC,使AB=a,BC=b,BC边上的中线AD=m.
根据题意,△ABD的三边已知,可以先确定这一三角形的三个顶点,进而作出所要求作的三角形。
(1)作BC=b,取BC的中点D;
(2)以点B为圆心,a为半径作弧,以D为圆心,m为半径作弧,两弧相交于点A;
(3)连结AB、AC,如图(b),即得到所求作的△ABC.

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