姚鸿泽教授专访（上）
姚鸿泽教授专访—数学学习，出国选导师，如何选方向做课题及其他
作者： 杨文Terry Yang
其实学数学的最高境界就是头脑中有一个picture，然后能清晰的熟悉各种脉络，如果套套公式，纠缠于繁枝细节估计不会有什么作为的！
刘太平第一次访谈: 李莹英(以下简称「李」)
(时间:民国八十九年夏天)
第二次访谈:
尤释贤(以下简称「尤」) 陈俊全(以下简称「陈」)
(时间:民国九十年八月)
地点:台湾大学数学系
整理:李莹英, 陈俊全
姚鸿泽1981年毕业于台湾大学数学系，1987年获得普林斯敦大学博士学位。曾担任纽约大学Courant Institute教授，目前为史丹佛大学教授。2000年获得PoincarePrize及以奖励对人类文明有重大贡献的麦克阿瑟奖。2001年更被选为美国艺术及科学院院士并获得晨兴数学金牌奖。2002年获选为中央研究院院士。姚博士的专长在于概率论、统计力学及量子力学。对多体复杂系统的物质稳定性问题有重大贡献，该项工作并为天文物理中星球稳定性问题提供了坚实的理论基础。对于如何从微观粒子的基本原理去推导出宏观系统的性质，一直是数学及物理上非常困难的挑战。姚博士引入了新的想法及技巧，从统计力学原理严格推导出巨观的Euler及Navier－Stokes方程，是这方面极大的突破。近年来，姚教授把注意力放到量子动力学相关的题材上，是一个有待开发的研究领域。
一. 自修数学
李：我知道你在高中时，就读了一些大学的教材。请问是什么时候开始自修的？联考时，为什么会填数学系作第一志愿呢？
姚：高一下学期吧！一开始念Johnson微积分的中文版，念到级数时有点糊涂，所以又重新开始。后来继续念了下册，这样大约花了一学期。接着读了两、三本线性代数，也大约花了一学期。因为我觉得微积分后面的部分读得不是很好，想重读，一个朋友建议我直接读高微，所以就读了高微，另外又读了群论和环论，这时差不多是高二结束的时候。这期间我也读了普通物理和力学。但是当我想继续读进一步的书籍时，因为大多是原文书，英文实在太多，无法读下去。到了高二暑假，决定重读高微。那时选的是Apostol的书，书中的习题除了最后一、二章外基本上每题都做完，这大概是高三上学期。我也尝试看实变，但看不懂，因为太多measure theory。我那时花了很多时间在这上面，蛮可惜的。在高中时，令我觉得很高兴而且对我帮助最大的是Apostol的习题全做了。后来在大学的分析通论课程中，我把实变的习题也都全做了，这对我的帮助也很大。联考时，只考虑选数学或物理。因为我读的数学书，远比物理要多很多，而19世纪的数学很吸引人，不但容易上手，也很容易发现它的趣味，这大概是为什么我会选数学的原因。
李：在自修时，怎么知道要读什么书呢？譬如说你很清楚高微之后要读实变，选的书也大都是有名的教科书。有人提供你这些协助吗？
姚：第一本书是随便买的，之后看书本后面的reference就晓得要找什么书了。会读Apostol，是因为我的高中数学老师提过这是他们以前的教科书，而且全班被当，我很好奇，就买来看看。基本上，我高中时自修大学的教材，没什么困难，但在大学时，我自修研究所的课程就有些困难。
李：为什么？是当时杂务太多吗？
姚：不是，研究所的数学，不应该只是直接拿书来读，也应该找些题目来做，同时读些paper，这样才会有自己的方向。
李：你高中做Apostol的习题，难道没有碰到困难吗？这本书对大部分大学生都有些困难。
姚：我每天也只能做一、两个困难的题目。简单的题目很快就可以做出来，难的题目，就要花两、三小时去想。
李：那时每天都花多少时间读数学？
姚：高一、高二时，一天至少花10个小时读数学吧！每天在学校的时间，大概可以读个5小时，回来后差不多也可以读个5小时。
李：这也是因为兴趣所在，方能如此吧！
姚：也不全是，因为高中太无聊了。学校的课程并不吸引人，又必须坐在那里，没有其他的事可做，所以只好读自己的书。
李：当初又为什么会开始自修呢？是对数学特别感兴趣吗？
陈：对呀！可不可说一下你什么时候开始对数学与物理这些题材感兴趣？
姚：我对数学产生兴趣是很早的时候，初中开始就自己去找书看。那个时候不是有很多几何做图的题目吗？我就去买一大堆书，因为实在也没什么其它事情，便把上面的题目几乎全部都做完。不过初中的时候遇到一些困难，所以没有自修高中数学。由于对几何很感兴趣，想去读更深的题材。可是家里什么书都没有，找到我爸爸的一本范氏大代数就拿来看。看到书上写A1，我搞不清A底下一个1，是什么意思。去请问数学老师。数学老师说：唉，不要读这一本。由于家里也没有其它的书可以看，只好就算了。所以当时在初中是无法读那些题材的，一直要到高中才慢慢没有这些问题。那么高中为什么会开始自修数学呢？高中数学书上讲到的一些我总不是很满意，它后面好像还有很多东西没讲清楚，所以我就去找一些书。因为高中数学很快就念完了，接下来已经没什么可看，于是就去读微积分及其他更深的书。像我这样在高中时自修，其实没什么特别。台湾数学界很多人都是如此的。我想这其中对我个人影响比较大的，就是找一个题材，把所有的习题，真的从头到尾都做完。物理方面我也读了一些，可是后来读不下去了。我读了几百页，才知道普通物理比较难念。后来也才知道物理跟数学不同，物理不是那么有前后逻辑性。
尤：这是否因为读物理的人常说intuition？这跟数学家所说的intuition是否不同？
姚：学生时代，intuition的问题还不到你说的地步。当时的问题是第一个英文不够好。第二个则是物理其实比较没有办法自修。物理比较需要别人跟你讲一讲，它不是完完全全的逻辑。在论证或说明一个现象的时候，它中间有很多步骤其实有很大的gap。这些gap和许多更深的东西有关，它先把它们略过去。因此，你在读的时候就没有办法说服自己它是对的，读不懂也是有道理的。可是如果有老师在旁边讲解，或有人告诉你，这些中间过程是有些不完备的，你就先相信它。那样你就可以很快读过去了，不会卡在那边。那时力学是念起来最没有问题的。一直念到热力学实在读不下去，就只好放弃物理了。后来再对物理有兴趣，是大学的事情。到了大三时，对数学比较没有兴趣，开始觉得读不下去。同时也常常感到奇怪，很多东西明明不需要去证明，为什么还要去证它呢？可能当时有些东西我也没有看到和想到吧。
二 大学时期
李：在大学时，你自修研究所的课，遭到困难，有寻求协助吗？还有大学课程已经先自修了，那么上课的状况如何呢？
姚：大学时我是在浪费时间。虽然高微是自修了，但毕竟还有些细节上的问题，所以考试成绩并不特别好。大学时读过微分几何、实变、复变，而代数也认认真真的读过，能完全了解它在做什么。
陈：你刚提到有些东西觉得不需要去证明，像高微那些你觉得它们需要证明吗？
姚：问题不是出在高微，高微、复变等等这些没有问题，代数也还好，我的问题是在像拓扑、几何的科目。我觉得当时读的几何是空的，只是一些定义（definitions），完全没什么意思。微分几何还是应该拿一个具体的问题来做，像曲线曲面。后来又读了一些比较一般化及形式化的题材，它们被formulate成几乎是不能计算的东西，这让我到了大三时，已经不太想读数学了。比如在学拓扑时书上证了半天就是证一个东西是sphere。整个拓朴讲了半天，没什么例子，说来说去就是sphere，这是很严重的事。没有例子你就不晓得自己在做什么，也不晓得为什么要做那些东西。当时定义homology，由simplicial complex开始。其实仔细想想，homology是一个简单的观念。但是我记得当时为了定义什么是homologygroup，就搞了将近七、八十页，然后一个学期就完了，真正homology能计算的东西还是碰不太到。所以那时候觉得每学一个东西，好像都很高深伟大，都要学一个或至少半个学期才知道定义是什么，可是真正能计算的例子又很少，这是不对的。也许是性格上的关系，我比较没有办法去接受太形式化的东西，比较喜欢看到一些具体活泼的东西。当时读到Jordan定理，很多人认为这是很困难，很深的定理。可是到现在，我仍不认为平面会被一条曲线分成两部份，需要证明。当然，问题是什么是曲线。不过若觉得一件事情是always true的，却花了一学期去学，目的只在证明它是对的，总会让人觉得浪费时间，所以当然读不下去。现在想起来，拓朴和几何是重要的，可惜当时没有人跟我们讲它们真正的用处。举例来说，几何最重要的当然就是Einstein方程，从这个方程去看，就会有很多有趣的题材。但当时传统的题材，说来说去都还是sphere。我当时问了很多老师，为什么数学学了这么多，可是最后做出来都是sphere？你现在会觉得sphere很有意思，很重要。可是对一个学生来说，它实在不够新鲜有趣，能让你看到的东西实在太少。当时我想看到很多更新奇的东西，可是数学系在教学的时候，并没有让学生接触到一些最新最有趣的数学，总是逼着学生去学习最基础的。数学系的学生证明了四年，就像少林寺的和尚在挑水一样。四年都在挑水，却没有让他看些其它的东西，很容易就读不下去了。由于当时对数学很怀疑，就请教系里老师，他们很多人并不同意我的想法。但也有些老师，像张海潮，他觉得我这样去想、这样去怀疑是有道理的。对于老是证明sphere这件事，他想办法用Lie group，symmetric space等等去解释，说明它的重要性。
大三升大四时，在台大当时有个不喜欢上课的风气。所以我一概不上课，然后全部自己去读。结果是浪费很多时间。大四时，基本的电磁学稍微学了一点，不过也不是很积极，纯粹用数学眼光和想法去了解。一直要到当兵时，才用比较物理的想法去读量子力学和电磁学。大学毕业时，当时心里想将来要做微分几何，用它去了解gauge theory。后来到了Princeton，发现没有人在做gauge theory，只好不了了之。
李：你觉得当初的课程以什么样子的形式呈现，对你才会比较有帮助呢？而现在你是老师了，可不可能换个比较理想的方式去做呢？
姚： 我觉得数学不需要那么严格，不需要每样都在大学里教。有一两门课，如高等微积分，如复变，可以教得严格一点。但是严格也是相对的。例如教证明时，若画个图能一目了然，看到直觉的观点，那么只画一个图就好了。这样就非常简单，学生也很快可以学会。若要求不可以这样做，学生就得花好几倍的时间，才能学会。如此是不是值得呢？依我的观点，宁可让学生很快学到最直觉的观点，看到定理的应用，而不是用最严格的方法去证明。如此学数学非常快。教微分几何如果能把具体的例子拿来计算给学生看，学生一定会有兴趣。不一定要告诉学生所有可能的细节，只要简单讲重点，找几个有意思的例子，做些计算，看它真正代表的是什么意思，就可以了。若要学生变成数学家，他可以慢慢把严格的东西一步一步还原加上去。
李：你现在是这样实验带学生吗？
姚：学生被规格化了似乎受不了这种方式的学习。我在纽约和台湾教书发现一个现象，如果在课堂上定理证明得不是那么严格，学生便很难接受。他们常常不知道我在课堂上是否已经把定理完全证完，也不确定我是否把一些深奥的地方藏起来。数学系已经把学生训练成以为任何一样事情都很困难，以为即使是简单的想法背后一定也藏了很多高深的东西。我觉得这不是很好，所以在教学时，我喜欢只讲重要步骤，告诉学生剩下的细节不清楚也没有关系，以后可以再慢慢补起来。
李：方才你说比较倾向将许多细节删掉，多靠些直觉。有时候，这样是不是容易因疏漏而导至错误?
姚：现在学数学要快。比方说实变中measure到底要教多少？这部份当年我也花了几乎半学期的时间去弄清楚所有的细节。可是做研究至今，所学的那些并不见得有帮助。所以事实上只要学些基本的就好了。为了要让学生能很快学到数学知识，同时使他们受的训练不会太狭窄，所以不能每个细节都注意。已经处理过没有问题的，或没有太多争议的细节可以先删掉。
你问会不会因为依赖直觉而容易犯错误，当然可能会有。但是其实做研究时犯的错误，大多都是因为我用了一些抽象的定理。而且通常最后都会发现，这些错误都是少了一个关键的具体估计。因此如果用上抽象的定理，又没有相应合理的直觉，就很容易产生错误。我也看过很多数学的文章使用抽象的做法，结果常常会有错误。
李：所以你认为学习的过程，用比较快速的方式是行得通的。
姚：不只是可以的问题，而是必须要很快的学习。如果今天训练出来的学生还是像以前一样，在这个新的世界是不够的。
李：那么基础工夫，例如做习题，要如何训练？
姚：大学最重要是先训练分析或是代数的基础，这些做得札实，其它的就可以快速地学习。以分析为例子，必须要求做高微，复变的习题，这是很重要的。若没有做很多习题，至少每个部份也可以找一两个稍微难的题目做。
三． Princeton求学及研究工作
陈：你已经提过国内求学的经过，可否请你也讲一下在Princeton求学的经过？
姚：出国那段期间因为数学已经学得很烦，所以想去学物理。去Princeton时，第一年全部上物理系的课，数学系的课都没有上。后来因为在数学系有qualify examination，我想还是先把它考过吧，便花了一些时间准备。等考过之后，第一年也结束了。在Princeton，数学系的学生其实可以到物理系找指导老师。我去物理系找了一下，发现没人理我。当中有一两位比较客气一点的，像是有一位做天文的，他给了我一篇paper读。可是我看得很吃力。当时我的物理实在太差了，想朝物理发展基本上是不可能的事情，所以只好回数学系找指导老师。
我换了很多指导老师，原因很多，不过总是这个不合或那个不顺的。本来想用 geometry去做gauge theory，但是当时没有那样的老师。后来又想学quantum field theory，但是当时在Princeton 除了一位年纪很大的老师外，几乎没有人做这个方向，我想了想就决定放弃了。一直到第二年快结束了，还是没有找到适合的老师。
陈：为什么特别想读quantum field theory？是因为大学接触过吗？
姚：那时候大家把quantum field theory说成是非常伟大、高深的东西，整个物理都在谈论这种题材，所以我想读它。我在数学系找了Fefferman，又找了 Martin Kruskal谈过。有人跟我建议说，虽然Kruskal懂一些soliton，也不理想。现在回想起来，Kruskal其实是位伟大的数学家。因为已经换了太多老师，觉得烦透了，第二年快结束时，我想就快些找一位老师，赶快毕业算了。这样最后才选到Lieb。
尤：为什么没有考虑像分析的领域，去找Stein, Fefferman不也是做分析的吗？
姚：Fefferman当时在做一点物理，我想找一些跟物理比较有关系的题目。 Stein四平八稳，我当时的个性觉得他的领域不是那么有趣。他关心不同函数空间中的operator是否bounded的问题，这对我来说比较枯燥些，没有很大的吸引力。
尤：当时的Milnor呢？
姚：Milnor不在Princeton吧。为了想学些数学物理，跟quantum field theory有关的东西，我还跑去Harvard找Jaffe以及到Rutgers找Aizenman。我那时想跟 Jaffe学，也曾想要转到Harvard去。基本上第二年我在Princeton是浪费时间，东试西试，没有找到一个满意的。最后项武忠骂我说，如果Princeton没有人可以教你，那么全世界就没有人可以教你了。我那时候太挑，意见也特别多。在 Princeton时我是非常认真地念书的。但是我觉得书读到某个地步，再读就没有用了。读到某个地步之后，如果没有做研究，再怎么读也不会真正懂。那时大部分时间在读量子力学、量子场论。可是现在回过头来看，自己有时候用到跟量子场论有关系的东西，也都是后来做研究时，再慢慢pick up的。那时候念的书，似懂非懂。胡乱念过去，书是念得不少，但也不见得如自己预期那样真懂得那些东西。
陈：请稍微介绍一下你的研究领域。
姚：我想先从我和Lieb做的开始。Lieb是我的指导老师，他叫我做stability of matter。当时我也不能完全说服自己，认为这是有意思的问题。只是想拿个题目做做，然后毕业。
陈：所以你不觉得那是当时物理的中心问题之一？
姚：当时我不觉得那是中心问题。
尤：那时候是85年吧？倪维明回台湾谈到你们的工作。
姚：其实是这样子，当时Fefferman跟Lieb都在做stability of matter，他们竞争很激烈。我当学生，也不去管这个问题重不重要。可是坦白讲，当时一直不懂去证明一个量子力学系统，它的energy per particle是finite，到底有什么重要，也不觉得很有趣。当然，后来加了一些相对论的效应，再加了一些其他的东西如磁场，问题就变得比较活泼。虽然说问题更有趣了，只是心里还是觉得不是自己最想做的事情。
陈：你跟Lieb有很多工作吗？
姚：在研究所第三、四年及毕业后第一年，我跟Lieb做了好几篇文章。在这三年之间，尤其在Princeton大学最后一年，我差不多每天都在Lieb的办公室。后来我离开Princeton大学，在高等研究院当postdoctor一年，有一半时间我去跟DavidBrydges学renormalization group。另一方面，我又跟Lieb继续做一些工作。当时renormalization group是quantum field theory最核心的想法，我去跟Brydges学，本来是很高兴的。只是后来我们写了一篇论文，让我写得很痛苦。它的论证过程实在是很烦很复杂。一个想法，写下来都将近七、八十页，真的让我觉得很难过。之后我到纽约去，一开始跟Aizenman，最后换成跟Varadham学probability。之后我跟他做了很多工作。对于probability，我一直是用比较统计力学的观念去思考它。不过我当时是从零开始学probability。在台湾的时候，几乎没有什么这方面的背景，像central limit theorem当时也根本不晓得，真的是从零开始。我去Varadham的办公室，那时张志中也在那里。于是我就向张志中学，然后再向Varadham问问题。这样也做了一阵子。因为我对物理比较有兴趣，所以在跟Varadham合作的时候，我思考的方向比较偏向物理现象的问题。差不多到了五、六年前，我开始思考原来的方向已经做了很久，下一步到底应该做什么，想找一些新的方向。后来决定去做quantum dynamics，理由是：第一它几乎没有人做，第二则是量子力学的重要性。我相信即使过了三十年或五十年，量子力学仍占有一席之地。在数学里，最重要的常常是多年的 conjectures。我觉得其实更应该问的是，我们研究的问题以后是不是还重要，到底是不是有恒久的价值。由于自己有时没有办法回答这问题，所以研究也常常做不下去。但是对于量子力学，我相信它的重要性，所以没有这个问题。在我的研究中，一方面我跟Lieb做stability of matter，这是量子力学中的静态问题。另外我做probability是研究evolution的问题。量子力学加evolution，合起来差不多就是quantum dynamics。我选择这样的题材，因为我在量子力学方面有些背景，在跟dynamics 有关的方程式也有些背景，而这个方向又没有人做，应当是很不错的。在这方面我投入很多时间，但进展缓慢，相当困难。可是我相信quantum dynamics的重要性是不容置疑的。
姚：量子力学的发现，早期像vonNeumann及Weyl，他们做了不少。像von Neumann做的那些东西，都慢慢变成functional analysis、C＊ algebra。数学界很多做C＊ algebra的人，对原来量子力学许多基本现象的的兴趣越来越少。其实你真正把量子力学的equation写下来，有很多基本现象可以探讨。那么在数学上你该怎么提适当的问题呢？这方面却少有人好好去想。所以我觉得这是一个非常大的方向，值得花上二、三十年好好研究。
陈：在物理上，比如量子力学中，解出重要的特例便满足了。你觉得这种方式够不够好？
姚：物理跟数学所关心的不太一样。物理一方面想找出新的basic方程式，另一方面想找出实验及应用所需的简易模型。这个简易的模型，不见得是原来的量子力学模型。它只要是一个比较有效率，可以计算，可以逼近的模型就好。因此对量子力学很多foundation的问题，他们都比较少去碰触。比方说，我们对量子力学中many bodies effect的了解是很少的。
把这东西做好，即使对物理本身，也是非常重要的。其实量子力学的方程式，所包含的内容非常地丰富。如果和数学上其它方程式相比，像elliptic、parabolic及hyperbolic方程，甚至Boltzmann方程，都被研究了很长很长的一段时间，数学家对它们的兴趣至少都有百年以上。但是数学家对Schroedinger方程的兴趣，基本上是相当小的。就算有也限制在一些特定的nonlinear Schroedinger方程方面。稍微问一点其他不同的问题，几乎就没有人碰过。如果其它的不谈，纵使从纯粹方程式的角度来看，Schroedinger方程也是一个非常丰富的例子。
陈：那么对想做数学物理的人，是否可以从Schroedinger方程的数学着手？
姚：我觉得Schroedinger 方程是一个很好的题材。但是另一方面，我也一向不鼓励别人一定要去做某件事情，我觉得每一个人顺其自然比较好。譬如在大学的时候，挑几个比较基本或比较广的东西学学，不需要那么窄。当然也可以专注一两个方向。到时候不论出国去念书或是留在台湾，你的指导教授也都有他们的方向，所以你那时碰到什么就是什么，你现在急也是没有用的啊。我在大学时，所有时间都花在微分几何，想用它做gauge theory，可是我到Princeton发现没有人做gauge theory，那我该怎么办呢？
李：你提到高中时，也有很多自修数学的同学。后来大家的发展不一样，是什么原因？
姚：读数学最后能走出来，除了努力之外，机会与运气也是很重要的。一位数学家的表现，除非他的才智和大家比起来有很大的差距，不然的话，常常也要看其它的条件能否配合。同样有聪明才智的人，往往因为运气，身体健康的程度，及个性等的因素配合，最后的表现可能很不一样。其实我觉得个性对一个人的影响很大。
李：那你有怎样的机会与运气？还有怎样的个性，对你的研究是比较合适的？
姚：刚才提到在Princeton时，我找Lieb当指导老师。他做数学的style和我蛮像的，这是我的运气。跟一位非常好的老师是很重要的，第一他要肯教你，第二他要真正是最好的数学家。
跟个大师与跟个一流的数学家中间的差别几乎是无限大的。像Dyson，也是一位真正好的数学家，可惜他不收学生，没办法跟他学。当然若是绝顶天才，不论跟谁都没有问题，但是这种例子毕竟很少。后来去纽约跟Aizenman，没有做出什么，另外找了Varadham，才发现他的研究非常好。当时也想过找其它人，不过现在看起来他们其实没有做得那么好。有时很奇怪，有些好的研究者，学生反而并不是那么知道。
Varadham对我影响很大，这也是运气。当时如果跟其他的人做下去，我现在数学上可能没什么特别结果。我每天与Varadham讨论数学至少两个小时以上，长期下来，影响很大。那时我在NYU升上assistant professor是在十月、十一月之间，而与Varadham做的题目是到九月才做出来，这中间只差一两个月。如果再晚一点才做出来，我就离开NYU了。若真离开了，可能走的是完全另外一条路了，所以说运气是非常重要的。
至于性格，人与人的相处，温和一点是比较好，不过做研究的，个性里还是要有些坚持才好。个性若不够强，研究很难做下去。然而个性太强了也会有问题，可能找到一个很难的题目，因为不肯放弃最后却被卡死在那里。我看过研究做得非常好的数学家，他们做研究时的性格都非常强。不论平时待人处世是什么个性，他们在做研究时，那很深沉和侵略性的一面都会浮现，不然研究都做不出来了。
李：你选择Lieb与Varadham，真的纯粹是运气好吗？他们不也是经过你的挑选？
姚：我也不确定。可能不完全是运气好，自己也挑。 李：挑选过程中，什么因素影响你的选择和决定？
姚：在纽约找Varadham之前，曾去找另外一位老师，他常常很忙，无法和他谈数学。Varadham有时间又肯与我谈数学，张志中又是他的学生，对我而言很方便，这是我的运气。Lieb是我换了很多老师之后的选择。
李：刚才你提到有些很好的数学家，在学生中的知名度不见得很高，学生应该怎么去找出这些老师来？
姚：这没有办法。作研究和教书是两回事，学生很难区分。
李：你在选老师的过程中，换了不少人。听你刚刚讲的，似乎当你觉得不适合时，就不会一直待在同一个人那里。
姚：我不太喜欢念书，喜欢直接做题目。在Princeton 时，很多老师要我念很多书，我并不太想念，所以就跑掉了。Lieb 比较直接了当，他给了一个题目要我去想想。我问他要读什么书，他说通通不用读，甚至也不要求我去看他的论文。不过我还是去图书馆找了一堆paper，他看看说都不用读。他的题目在数学上没有已知的理论可以处理，所以不用读什么。我的论文是他给的题目，主要在证明一个一阶方程式无解。一阶方程式通常比较难处理，当时我把它先变成二阶的方程想证明无解。但是证了半天都证不出来，最后才朝反方向想，居然找出了解，而且是可写下的exact solution。
李：在什么情况之下，你开始换个方向，想去找出它的解呢？
姚：他叫我证明无解时，我问他为什么相信是无解，他也说不出所以然。他只说有解的话，物理现象会变得比较复杂，无解的话比较简单。那个方程式从来也没有人看过。我拿了很多paper给他看，他说这个不相干，那个没有用，所以只有自己去想。最后找
出一些式子，才把问题做出来。他给的题目很活泼，不需要先学很多理论。我非常喜欢这样的方式。
李：在他这样方式的教导之下，其他学生的情况呢？
姚：他给学生的第一个题目通常是一个很难的题目，通常是他想了五年、十年想不出来的。若是做出来了，他会非常高兴；若是学生做不出来，他会换一个简单点的题目。Lieb 带了很多很好的学生。
李：你是否比较喜欢分析？
姚：不是，我也喜欢代数，大学时有一段时间我喜欢分析，一段时间喜欢代数。读博士时，倾向分析，代数没有机会读下去了。
李：你对代数，数论也有兴趣，到Princeton时也尝试转系，是什么时候确定分析的方向，怎样做决定的？
姚 刚开始想转物理系，过了一年多也没有转成。想转物理系，是觉得当时看到数学系考虑的问题，不是那么有趣。我比较喜欢处理一些可以看得到的东西，物理世界的问题很自然，生活周遭产生的事情它都有，让我觉得有趣。对古人所提的一些问题及conjecture，并不特别感兴趣。当初想学物理，是想用微分几何去研究gauge theory。现在看起来，这种想法其实也是从数学系的角度出发的。 李：那又怎样走到现有的方向？
姚：走到现有的方向，其实也不是我的选择。我跟着Lieb时，他做many－body problem，我也就跟着做many－body problem。这方面在数学里几乎没有人做。我跟Varadham时，他做的是interacted particle system。那其实也是many－body problem，只是它加了stochasticity。Varadham做的是有时间，Lieb 做的是没有时间。Varadham做的是stochastic，Lieb 做的是量子力学。跟他们做，两方面我都有背景。好几年前我想走新的方向，当时最想做的是quantum dynamics。一方面是因为量子力学是上个世纪最重要的理论，另一方面它和我的两背景都有关，里面又有很多题目没有人探讨。因此它是值得做的方向。
李：这方面几乎没有人做，你会不会因而感到很孤单？
姚：不会，感觉很好。这是一个新的方向，基本上也是自己要找的方向，很有挑战性。另外数学家对量子力学忽视了一个世纪，是不可思议的事情。所以，很少人作我也无所谓。这百年来除了生物以外，最重要的两个科学就是相对论与量子力学。量子力学不管在工业上或科学上都是最基本的东西，数学家放了一百年没有去处理，是很不可理解的事情。我想问题是quantum dynamics非常困难。
李：你习惯自己一个人研究呢？还是也喜欢与他人合作？
姚：我现在喜欢找年轻人一起做，比方说，目前我和蔡岱朋就合作得很好。做这个方向的另外一个好处是，当我演讲谈到量子力学时，可以看出数学家他们其实非常羡慕这些东西。羡慕我可以去找一个他们完全不熟悉，一个基于自然界非常重要的方程所产生的问题，然后给它一个有意义的数学陈述。情形就是这样，我只好有些寂寞了。
李：要懂很多，才能做这方面的问题？
姚：其实做研究，不需要懂全部的东西，就可以开始。而且很多题材，可以叙述成孤立的问题，不见得会牵连到太多东西。比较重要的是，将一个物理的问题用数学去处理，你一定要处理到即使是学物理的人也觉得有意思。我觉得提出一个新问题，要让数学家相信它有意思，要比让物理学家相信容易多了。研究新问题，从旧有的数学角度来说，最重要是能发展一些新的数学，一些新的工具出来。