“一类特殊解三角形问题”一课的教学设计与实施
“一类特殊解三角形问题”一课的教学设计与实施
金敏，上海市张江集团中学数学教师。她认真、敬业、勤奋，是作为她师傅的我不能及的。这是她刊登在《上海中学数学》上的一篇课例，供大家参考
随着数学学科教育改革的不断深入，数学核心素养的培养也越来越受教育工作者的关注，如何在平时教学中培养学生的数学核心素养，是笔者一直在学习和反思焦点.
借着上海市浦东新区组织的“新苗杯”教学评优比赛的机会，笔者开设了一节“一类特殊解三角形问题”的研讨课，现将教学设计和课堂实录整理成文.
一
设计分析
1
教学内容分析
解直角三角形是初中几何计算的基础，学生通过对沪教版《数学》九年级第一学期“锐角的三角比”一章的学习，经历了从锐角的三角比的定义到特殊的三角比、从勾股定理和锐角的三角比到解直角三角形，从解直角三角形类比、抽象、推理到解任意三角形的过程，其中“锐角三角比”体现了三角形内部的边角关系.初中阶段一般将三角比运用于直角三角形，对于一般三角形而言，往往是通过添加高线将其分成两个直角三角形，从而进行计算.确定三角形需要三个要素，然而并非给定三个要素就能唯一确定三角形，在三角形构造过程中若遇到不确定因素，则需考虑分类讨论，本专题主要针对这类问题进行研讨.
2
教学目标分析
本专题学习，让学生经历探索“解三角形”问题时由一般向特殊转化过程中产生的“形变”，体会运用已有的数学知识和方法解决新问题时的“异同”，体会类比、化归、数形结合等数学思想，体会并初步应用“分类讨论”思想，培养严谨的数学思维品质，同时培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等数学核心素养.
3
教学设计分析
本次专题复习教学中，针对“解三角形”中涉及的“两边及其中一边的对角”、“两边及一高”问题，通过“题组训练,总结规律—类比迁移，内化提高—拓展延伸，培养能力”的过程，让学生自主地参与学习活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
二
课堂反馈
1
题组训练,总结规律
课堂中，笔者给出“题组训练”，学生独立思考并尝试解决问题，之后进入分享交流环节.
设计思路：
“题组设计”中采用两两类比的形式，题1、题2是“两边一对角”问题，通过数据变化引发学生思考；题3、题4则是“两边及一高”问题，其中题3设计的是两边及第三边上的高，题4设计的是两边及其中一边上的高，通过条件变化引发学生思考；同时，题1、题4以及题2、题3之间也进行了条件对比设计。
课堂上学生的表现如下：
（1）大多数学生能应用数形结合的思想，将文字语言、符号语言转化为图形语言；
（2）大多数学生能应用化归思想，将非特殊三角形通过添高线、造直角转化为解直角三角形问题；
（3）部分学生应用了类比思想，由题1类比题2，由题3类比题4.
学生初步解决问题的结果不一，课堂巡视中发现漏解、多解问题频现.笔者通过巡视发现，如果学生作图正确，求解对于他们而言并非难事，主要问题在于发现不了多解，而发现不了多解源于他们画图随意，考虑问题不够全面细致，为此，笔者在教学中让学生分享解题思路，针对什么情况下一解，什么情况下多解进行探讨，将上述问题转化为用交轨法确定交点个数问题，在用交轨法作图的分析过程中，着重介绍交轨思想，即分析所求作的点是在哪两个轨迹上.具体过程如下.
01
提出问题，引发思考
（1）为什么题1有两解，题2无两解?当给定∠B=45°，时， AC取何值，BC可能有一解？两解？甚至无解？
（2）题3、题4为什么都会有两解？如何通过画图确定两解的位置？
02
尺规作图，探究本质
上述部分问题本质是交轨法思想，探索以A为圆心的圆与射线（直线）的交点个数.
（1）题1、题2本质是探索以A为圆心的圆与射线BH的交点个数.图1-1至图1-5反映了以A为圆心的圆与射线BH的交点变化情况，其中图1-5为圆与直线BH的另一个交点不满足∠B=45°的情况.
（2）对于题3、题4，除了用交轨法探索C点的位置外，也可以从对称的角度观察两解的图形，将其视为是一边以高所在的直线进行翻折.
题3作图视角：边AC1沿着高AH翻折得第二解（如图2所示）
题4作图视角1：先确定AC及AC边上的高4，边AB1沿着高AH翻折得两解（如图3-1所示）.
题4作图视角2：以水平直线为底边AC所在直线，先确定AB及AC边上的高4，以A为圆心5为半径作圆，找与水平直线的交点得两解（如图3-2所示）.
03
师生合作，总结规律
（1）针对题1、题2，总结规律：当0<AC<4时，无解；当AC=4或AC≥4√2时，BC有一解；当4<AC<4√2时，BC有两解。
（2）针对题3、题4，总结规律：交轨确定交点数，点落直线、射线要清楚；高可形内，亦可形外.
2
类比迁移，内化提高
设计思路：
初中的几何多以三角形为基础，对于四边形、圆等问题，往往可以转化为三角形问题来处理.在处理具体问题时，如处理梯形问题时，我们可以通过平移腰，添高线，联结对角线、延长两腰等方式将梯形问题转化为三角形问题，当这个转化的三角形的三要素无法唯一确定三角形时就可能产生分类讨论；又比如在处理圆与圆位置关系的问题时，可以通过联结两圆的圆心、构造两圆的半径等方式构造三角形，如果这个三角形的相关要素同样不能唯一确定三角形时，也可能要分类讨论.本环节主要是通过类比迁移思想，探索梯形、圆中隐藏的解三角形问题.
与“梯形”相关的几何计算问题
例1 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AB=4，BC=5，CD=5，则这个梯形的面积为_____．
01
绘制草图，图形转化
绘制草图（如图4-1所示），添加辅助线，实现转化（如图4-2所示）.
02
类比迁移，找准方向
通过平移腰（或添高线）构造Rt△CDH（如图5所示）.
观察视角1：
在Rt△CDH中，已知DH、CD、∠CHD三要素（两边一对角），由于△CDH是直角三角形，三角形的大小、形状可确定，但是位置可能发生变化，在分析过程中可考虑以C为圆心，5为半径的圆与射线AD的交点个数.
观察视角2：
在Rt△CDH中，已知DH、CD，由勾股定理可以求出CH的长，由于直角三角形的两条直角边可视为直角三角形的高线，条件可以理解为“已知两边及一边上的高”问题，通过引例中的题组训练可以发现高可以在图形内部，也可以在图形外部，可以类比引例，尝试将Rt△CDH沿着高DH翻折，寻求可能的解.
03
尝试操作，逐项突破
求出底边AD的长，求梯形ABCD的面积亦不是难事（如图6-1,图6-2所示）.
例2 已知梯形的一底边长为7，高为4，两腰分别为和5，则这个梯形的另一底边长为_____．
1.绘制草图
底边指代不明，由于条件指代不明确可能造成分类，从而确定本题可能产生的第一级分类——7可以是上底边长也可以是下底边长（如图7-1,图7-2所示）.
2.添加辅助线，实现转化
通过平移腰（如图8-1,图8-2所示），条件转化为已知三角形两边长为5和以及第三边上的高4，类似比“两边及一高”问题，通过引例中的题组训练可以发现高可以在图形内部，也可以在图形外部，从而确定本题可能产生的第二级分类——高4可以在梯形内部也可以在梯形外部（如图9-1至图9-4所示）.
3.类比迁移
通过平移梯形的“腰”，发现梯形问题可以转化为三角形加平行四边形问题来分析，由于平行四边形对边相等，所以两底差的绝对值应该为所构造的三角形的第三边的长.对于三角形的第三边，通过类比迁移可以确定为：高4在形内，第三边长为7（如图9-1，图9-2所示），高4在形外，第三边长为1，可知“两底差的绝对值”等于7或1（如图9-3，图9-4所示），进而得出梯形底边长分别为14，8，6，图9-2的情况舍.
思路总结：本题主要是将梯形中两腰及高问题转化为两边及一高问题进行研讨（如图10所示）.
与“圆”相关的几何计算问题
01
化繁为简，锁定方向
具体过程如图11所示
02
找准本质，进行迁移
在分析时可以“剔除”外在圆，挖掘内在△AO1O2.在△AO1O2中，已知AO1=4√2,AO2=5以及第三边上的高AH=4，问题可转化为 “两边及一高”问题.
03
合作探究，内化提升
腰长为5的边关于相交弦对称，得出两解，的长分别为7或1（如图12-1、图12-2所示）
思路总结：
将圆中已知⊙O1半径、⊙O2半径、公共弦问题转化为“两边及一高问题”进行研讨.
设计思路：
通过“题组训练”，学生可以发现在三角形中，已知“两边一对角”“两边及一高”会发生“形变”产生“分类”，那在四边形或者圆中是否也会有隐藏着的“两边一对角”、“两边及一高”导致的分类呢？一个本质贯穿三角形、四边形、圆中的一类问题，笔者希望通过本专题复习触发学生思考，引领学生去探索发现，从而点燃学生的热情，引导学生也能够尝试用一线贯穿的方法进行复习整理，真正意义上的学会把课书读簿，把知识用活.
3
拓展延伸，培养能力
综合应用中相关几何计算问题
设计意图：
在综合题中是否也能找到以上系列问题影子呢？笔者为此结合2012年上海中考数学真题进行了小幅度的改编，让学生尝试应用所学解决综合问题.
例4（2012上海中考-25） 如图13，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
变式：半圆O的直径AB=8，C为弧AB的中点，点D是弧AB上的一个动点，联结CD，AD，作OE⊥CD于E，OF⊥AD于F，当CE=2时，求△EOF的面积.
变式思路：
2012年上海中考题通过分析最终条件可以转化为“两边一对角”问题，但是由于原题被限制在1/4的圆内，△DOE为锐角三角形，故不存在两解.笔者以此题为原型作进一步变式，将1/4的圆变成半圆，保留原有条件，笔者发现原题中的△DOE，此题中△OEF在半圆中存在钝角三角形的可能，即形状是不唯一确定的，从而产生了两解（如图14-1，图14-2所示）.
三
教学反思
1
遵循认知线
本专题是针对学生专题复习时所暴露出的“两边一对角”、“两边及一高”类问题的漏解、多解问题进行设计，反馈出来的是学生对于可能存在解不唯一的几何计算问题缺乏深入思考、不善于从条件入手进行分析.这类问题在之前的教学中都有所涉及，但常常是教时会，时间长了就又出问题，说明部分同学未能真正理解，而是通过短时记忆来避免“错误”，如何能够有效的避免这种错误是教学设计的一大重点.教学中主要通过交轨法作图，引导学生将特殊的解三角形问题中“解的个数”的问题转化为有几个可以确定的交点问题研讨，通过作图过程探究其中的不确定因素，发现相关交点可能并不唯一.就这节课而言，学生对所有知识点均不陌生，但在应用时由于缺乏必要的经历和体验，往往难以保证准确率.
学生经历了几轮复习，已经基本掌握了初中教学大纲中所涉及基础知识和基本技能，也初步具备了解决一些较复杂的综合问题的基本策略.在这个阶段，如果能够通过平时练习，及时发现学生集中的问题，更显得弥足珍贵，须及时以此为契机，剖析学生问题存在根源，解决问题的同时，进一步提升学生的数学思维能力.为此，笔者在设计时，从三角形到四边形，从四边形到圆，带着学生感受、体验内在关联与变化，从图形与图形关系中抽象出一般规律和结构。
2
依托知识线
解直角三角形的知识是教材中的一条明线，如何利用这根明线去解决任意三角形中遇到的求边或求角的问题是关键.本节课的教学中，笔者始终紧扣划归的数学思想方法，通过添垂线将非特殊三角形转化为直角三角形，将梯形中两腰及高、两圆的半径、公共弦问题转化为“两边及一高”问题，综合问题转化为“两边一对角”问题，对学生的知识技能训练贯穿始终.从特殊“两边一对角”、“两边及一高”问题到一般隐藏着的“两边一对角”、“两边及一高”问题；从一般的三角形到特殊的直角三角形，通过类比、划归、迁移培养学生的逻辑推理能力.
3
紧扣发展线
课堂教学应激发学生探究数学问题的热情，调动学生的学习积极性，引发学生对数学问题的思考.在初中几何中，三角形是“底座”，教师一般是把四边形和圆的问题转化为三角形问题来处理，而在三角形当中，三角形的确定性的问题对解的可能性问题起着决定性的作用.如果三角形唯一确定，解唯一；三角形不确定，则存在着多种可能性.在本节课中，笔者将“两边一对角”、“两边及一高”问题披上华丽的外衣——初一的三角形、初二的四边形、初三的圆，让学生经历透过现象看本质的过程，化繁为简，希望不仅对于这类问题，学生能有更深刻的认识；更希望通过对这类问题的剖析，结合直观想象、构建几何模型，让学生体会类比、化归、数形结合等数学思想，培养严谨的数学思维品质，从而将提升学生数学素养化于每日教学之中.