约束的简化及其分类

约束是力学中的重要概念，最先在理论力学中学习，包括柔性约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束、固定铰支座约束、滑动铰支座约束等等。但这些约束的命名，都是从工程角度，按照材料特性（如柔性约束）、运动特性（如固定、滑动铰支座）来命名，这样命名的好处是直观形象，坏处是不利于把握约束的本质与核心。

本质上约束起着对物体运动能力的限制作用，由于描述物体运动能力的力学术语称为自由度，也可以说约束就是对物体自由度的限制。如平面内的小球（视为质点），有x方向和y方向2个自由度；空间中的小球有x,y,z方向共3个自由度。如果把小球换成需要考虑形状的刚体，在平面下除了x,y方向2个自由度之外，还有面内旋转，共3个自由度；在空间状态下，除了沿着x,y,z方向3个自由度外，还可以绕3个坐标轴旋转，共6个自由度。我们所学的各种约束，实际上就是对这些自由度进行部分或全部约束。

举例来说，如图1所示具有3个自由度的平面刚体，当约束对刚体完全约束，即刚体不再具有任何运动可能时成为结构，如果约束对刚体约束不完全，仍具有某种运动能力时，则成为机构。由于机构会发生运动不能作为结构使用。

图1 平面内刚体的运动形式

如只在某点施加x方向、y方向2个约束，刚体仍可以绕该点转动，如果在该点再施加一个旋转约束（像悬臂梁的固定端那样），则成为结构，可以承载。当有效约束个数等于刚体自由度数时，所组成的结构称为静定结构；当约束个数大于刚体自由度数时，称为超静定结构（或静不定结构），并且有效约束数比自由度数多几个就称为几次超静定结构。超静定结构必须考虑变形补充方程，理论力学中均以刚体、质点为研究模型，理论力学中不能求解超静定结构问题。

这里强调有效约束，即约束不在同一自由度下重复施加。如图2所示，虽然该梁有3个约束，但三个约束在y方向重复施加，只限制了y方向和旋转自由度（两个y方向约束可限制y方向和转动自由度），因此其有效约束数只能算2个，有多余约束。由于约束也可以等效为约束反力，每个自由度又可以列一个平衡方程，理论力学中也通过数约束反力数与平衡方程数来定义超静定结构，即约束反力（通常为未知数）数大于可列出的平衡方程数时称为超静定结构。

图2 同一方向下的存在多余约束的例子

对于约束的学习需要注重自然语言、图形语言和符号语言三种语言的综合运用，如固定铰支座，自然语言描述为：在一点处施加x方向、y方向2个约束。其力学简图和受力图（图形语言）如图3(a)和(b)所示。

图3 固定铰支座

用数学符号语言描述为：

u表示x方向的位移，v表示y方向的位移。即在该点处不能产生x方向和y方向的位移。

再如滑动铰支座，自然语言描述为：在y方向施加1个约束。力学简图和受力图如图4(a)、(b)所示。

图4 滑动铰支座

写出数学符号描述为：

即在该点处不能产生y方向的位移。

固定端约束在同一个点限制三个自由度的，其画法如图5a，以及约束反力如图5b所示。

图5 固定端约束

写出数学符号描述为：

即在该点处不能产生x、y方向的位移，不能产生转动，dv/dx表示固定端处梁的转角为0，即不能发生转动。

需要注意的是，力学中的约束是一种理想化了的“力学模型”，在工程实际中，约束往往与“力学模型”有较大的差异。需要学习者能够分析实际约束、并将其简化为“力学模型”，具体就是要分析实际约束是如何实现对物体自由度的约束的，写出数学表达并画出简图。

例如我们常说的简支梁，在实际中可能就是简单的用两个桥墩支撑一个桥面，如图6(a)所示。通常画出简支梁力学简图如图6(b)所示，一端为固定铰支座、另一端为滑动铰支座。但这里并没有出现“铰”约束，那么为什么会把这样的桥简化为简支梁呢？