椭圆、双曲线的弦长公式

 大罕

   求圆锥曲线的弦长是学习解析几何过程中常见的问题．一般用弦长公式|AB|=(√△/|a|)√(1+k^2)．在运用上述公式之前，需要将直线方程代入到椭圆、双曲线的方程，加以化简．在整理的过程中，由于带有参数，故运算有些繁琐容易出错．作为参考材料，本文给出更具体的弦长公式．遇到选填题可直接套用，遇到解答题可供检验.具体如下：

   命题１：已知直线l：y=kx+m，
     椭圆C：  x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)， 
     记δ=b^2+(a·k)^2-m^2，
     若δ=0，则直线l与椭圆C相切
     若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且
       |AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2＋(ak)^2]．

　简要的推导过程是：
　　把y=kx+m代入x^2/a^2+y^2/b^2=1，
  　整理得：[(ak)^2+b^2]x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2＝０，
  　∴=4a^4k^2m^2-4a^2(m^2-b^2)(a^2k^2+b^2)=4a^2b^2(b^2＋a^2k^2-m^2).
　　令δ=b^2＋a^2k^2-m^2，
　　∴当δ=0时，直线l与椭圆C相切；
   　　当δ>0时，直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且
     |AB|=[2ab√δ√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].

命题2：已知直线l：y=kx+m，
       双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)， 
       记δ=b^2-(a·k)^2+m^2，
      若δ=0，则直线l与椭圆C相切
      若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且
       |AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2-(ak)^2]．
   　证明与命题１过程类似，这里从略．

　例1、若直线l：y=x+m与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相切，求m的值.
   解：a^2=4，b^2=3，k=1，
   ∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-m^2=0，
   则m=±√7．

例2、求直线l：y=x+1截椭圆C：x^2/4+y^2/3=1所得的弦长|AB|．
   解：a^2=4，b^2=3，k=1，m=1,
   ∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-1=6，
   ∴|AB|=(4√3)(√6)(√2)]/7=24/7.

例3、直线l过点P(1,1)，双曲线：x^2-y^2/2=1相切，求直线l的方程.
    解：设直线l：y=kx+1-k，
    a^2=1，b^2=2，m=1-k，
    令δ=b^2-(a·k)^2+m^2=2-k^2+(1-k)^2=0，
    解得k=3/2.